(ক) দুটি ভেক্টরের গুণফল যদি একটি স্কেলার রাশি হয়, তবে সেই গুণনকে ডট গুণন বা স্কেলার গুণন বলা হয়। (খ) নৌকার গুণ টানার সময় রশিটি নৌকার গলুইয়ের সাথে একটি নির্দিষ্ট কোণ উৎপন্ন করে। ধরি, প্রযুক্ত বল $F$ এবং এটি নৌকার গতির দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে। বলের দুটি উপাংশ থাকে: ১. নৌকার গতি বরাবর উপাংশ: $F \cos \theta$ ২. নৌকার গতির সাথে লম্ব উপাংশ: $F \sin \theta$ এখানে $F \sin \theta$ উপাংশটি নৌকার হাল দ্বারা প্রশমিত হয়। নৌকাটিকে সামনের দিকে এগিয়ে নিতে কেবল $F \cos \theta$ উপাংশটি কাজ করে। রশি যত লম্বা করা হয়, $\theta$ এর মান তত হ্রাস পায়। ফলে $\cos \theta$ এর মান বৃদ্ধি পায় এবং নৌকার গতিবেগ বৃদ্ধি পায়। (গ) দেওয়া আছে, নৌকার বেগ, $v = 12 \text{ kmh}^{-1}$ স্রোতের বেগ, $u = 6 \text{ kmh}^{-1}$ নৌকা ও স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 90^\circ$ লব্ধি বেগ $w$ হলে, $$ \begin{aligned} w &= \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha} \\ &= \sqrt{6^2 + 12^2 + 2 \times 6 \times 12 \times \cos 90^\circ} \\ &= \sqrt{36 + 144 + 0} \\ &= \sqrt{180} \\ &\approx 13.42 \text{ kmh}^{-1} \end{aligned} $$ সুতরাং, নৌকাটির লব্ধি বেগ $13.42 \text{ kmh}^{-1}$। (ঘ) নৌকাটিকে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগের দিক নদীর প্রস্থ বরাবর হতে হবে। ধরি, নৌকাটি স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে যাত্রা শুরু করে। স্রোতের সাথে লব্ধি বেগের কোণ $\theta = 90^\circ$ হলে, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha} \\ \Rightarrow \tan 90^\circ &= \frac{12 \sin \alpha}{6 + 12 \cos \alpha} \\ \Rightarrow \infty &= \frac{12 \sin \alpha}{6 + 12 \cos \alpha} \end{aligned} $$ হর শূন্য হলে মান অসংজ্ঞায়িত হয়, তাই, $$ \begin{aligned} 6 + 12 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -\frac{6}{12} = -0.5 \\ \Rightarrow \alpha &= 120^\circ \end{aligned} $$ অর্থাৎ, স্রোতের সাথে $120^\circ$ কোণে নৌকা চালালে তা সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাবে। এক্ষেত্রে লব্ধি বেগ $w$ হবে, $$ \begin{aligned} w &= \sqrt{v^2 - u^2} \\ &= \sqrt{12^2 - 6^2} \\ &= \sqrt{144 - 36} \\ &= \sqrt{108} \\ &\approx 10.39 \text{ kmh}^{-1} \end{aligned} $$ নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় $t$ হলে, $$ \begin{aligned} t &= \frac{d}{w} = \frac{4}{10.39} \text{ hr} \\ &= 0.385 \text{ hr} \\ &= 0.385 \times 60 \text{ min} \\ &= 23.1 \text{ min} \end{aligned} $$ যেহেতু নদী পার হতে $23.1$ মিনিট সময় লাগে এবং লোকটি ২০ মিনিট অপেক্ষা করে চলে গেছে, তাই লোকটির সাথে নৌকাটির সাক্ষাৎ হয়নি।