(ক) যদি দুটি সমজাতীয় ভেক্টরের মান সমান হয় কিন্তু তাদের দিক পরস্পর বিপরীতমুখী হয়, তবে একটিকে অপরটির বিপরীত ভেক্টর বলা হয়। (খ) দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন (ক্রস গুণন) বিনিময় সূত্র মেনে চলে না। কারণ, ভেক্টর গুণনের ক্ষেত্রে গুণফলের মান সমান থাকলেও দিক বিপরীতমুখী হয়। মনে করি, $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ দুটি ভেক্টর এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$। এদের ক্রস গুণন হলো: $$ \begin{aligned} \vec{P} \times \vec{Q} &= PQ \sin \theta \hat{n} \end{aligned} $$ এখানে $\hat{n}$ হলো একটি একক ভেক্টর যা $\vec{P} \times \vec{Q}$ এর দিক নির্দেশ করে। আবার, $\vec{Q} \times \vec{P}$ এর ক্ষেত্রে: $$ \begin{aligned} \vec{Q} \times \vec{P} &= QP \sin(-\theta) \hat{n} \\ &= -PQ \sin \theta \hat{n} \end{aligned} $$ সুতরাং, $$ \begin{aligned} \vec{P} \times \vec{Q} &= -(\vec{Q} \times \vec{P}) \end{aligned} $$ অর্থাৎ, $\vec{P} \times \vec{Q} \neq \vec{Q} \times \vec{P}$। তাই ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না। (গ) এখানে, বল দুটির মান $F_1 = 15 \text{ N}$ এবং $F_2 = 15 \text{ N}$। চিত্রানুসারে, বল দুটির মধ্যবর্তী কোণ, $$ \begin{aligned} \theta &= 90^{\circ} - (25^{\circ} + 20^{\circ}) = 45^{\circ} \end{aligned} $$ লব্ধির মান, $$ \begin{aligned} |\vec{F}_1 + \vec{F}_2| &= \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \\ &= \sqrt{15^2 + 15^2 + 2 \times 15 \times 15 \times \cos 45^{\circ}} \\ &= \sqrt{225 + 225 + 450 \times 0.7071} \\ &= \sqrt{450 + 318.195} \\ &= \sqrt{768.195} \approx 27.72 \text{ N} \end{aligned} $$ অতএব, লব্ধির মান $27.72 \text{ N}$। (ঘ) লব্ধি ভেক্টর $\vec{F}$ এর দিক $\vec{F}_1$ এর সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করলে, $$ \begin{aligned} \tan \alpha &= \frac{F_2 \sin \theta}{F_1 + F_2 \cos \theta} \\ &= \frac{15 \sin 45^{\circ}}{15 + 15 \cos 45^{\circ}} \\ &= \frac{10.606}{15 + 10.606} = \frac{10.606}{25.606} \approx 0.4142 \\ \alpha &= \tan^{-1}(0.4142) \approx 22.5^{\circ} \end{aligned} $$ $X$-অক্ষের সাথে লব্ধি ভেক্টরের কোণ $\theta' = 22.5^{\circ} + 20^{\circ} = 42.5^{\circ}$। এখন উপাংশগুলো হলো: $$ \begin{aligned} F_x &= |\vec{F}| \cos 42.5^{\circ} = 27.72 \times 0.7373 \approx 20.44 \text{ N} \\ F_y &= |\vec{F}| \sin 42.5^{\circ} = 27.72 \times 0.6756 \approx 18.73 \text{ N} \end{aligned} $$ যেহেতু $20.44 > 18.73$, তাই $F_x > F_y$। অর্থাৎ, $F_x$ এর মান বড় হবে।