(ক) একটি দৈব পরীক্ষার মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যার সাথে কোনো একটি নির্দিষ্ট ঘটনার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতকে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা বলে। (খ) মনে করি, একটি দৈব পরীক্ষার নমুনা ক্ষেত্র $S$ এবং উক্ত নমুনা ক্ষেত্রের সাথে সংশ্লিষ্ট $A$ একটি ঘটনা। ধরি, নমুনা ক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা $n(S)$ এবং $A$ ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা $n(A)$। সম্ভাবনার গাণিতিক সংজ্ঞা অনুসারে, $$ \begin{aligned} P(A) &= \frac{n(A)}{n(S)} \end{aligned} $$ যেহেতু কোনো ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না এবং তা মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যার চেয়ে বেশি হতে পারে না, তাই $0 \leq n(A) \leq n(S)$। উভয় পক্ষকে $n(S)$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{0}{n(S)} &\leq \frac{n(A)}{n(S)} \leq \frac{n(S)}{n(S)} \\ \Rightarrow 0 &\leq P(A) \leq 1 \end{aligned} $$ অর্থাৎ, সম্ভাবনার মান সর্বদা $0$ থেকে $1$-এর মধ্যে থাকে। তাই সম্ভাবনার মান কখনোই ঋণাত্মক হতে পারে না। (গ) দেওয়া আছে, $P(A) = \frac{1}{3}$, $P(B) = \frac{3}{4}$ এবং $P(A \cup B) = \frac{10}{12}$ আমরা জানি, সম্ভাবনার যোগ সূত্রানুসারে, $$ \begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ \Rightarrow P(A \cap B) &= P(A) + P(B) - P(A \cup B) \\ &= \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{10}{12} \\ &= \frac{4 + 9 - 10}{12} \\ &= \frac{3}{12} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$ নির্ণেয় $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$। (ঘ) 'গ' হতে পাই, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$। শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রানুসারে, $$ \begin{aligned} P(A \mid B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ &= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$ আবার, $$ \begin{aligned} P(B \mid A) &= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ &= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{1}{4} \times 3 \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$ যেহেতু $P(A \mid B) = \frac{1}{3}$ এবং $P(B \mid A) = \frac{3}{4}$, তাই $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$। সুতরাং, শিক্ষকের মন্তব্যটি যথার্থ।