(ক) কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফলের সেটের সাপেক্ষে কোনো একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটার গাণিতিক পরিমাপকে সম্ভাবনা বলে। যদি কোনো দৈব পরীক্ষায় মোট ফলাফল $n$ হয় এবং কোনো ঘটনা $A$ এর অনুকূল ফলাফল $m$ হয়, তবে সম্ভাবনা $P(A) = \frac{m}{n}$। (খ) না, দুইটি স্বাধীন ঘটনা সাধারণত বর্জনশীল হতে পারে না। দুইটি ঘটনা $A$ ও $B$ স্বাধীন হলে, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ হয়। যদি $P(A) > 0$ এবং $P(B) > 0$ হয়, তবে $P(A \cap B) > 0$ হবে। কিন্তু ঘটনা দুইটি বর্জনশীল হলে তাদের ছেদ সেট ফাঁকা সেট হয়, অর্থাৎ $P(A \cap B) = 0$। যেহেতু স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে ছেদ সেটের সম্ভাবনা শূন্য নয়, তাই স্বাধীন ঘটনা বর্জনশীল হতে পারে না। (গ) থলিতে মোট বলের সংখ্যা = $4$ (সাদা) + $1$ (কালো) + $6$ (লাল) = $11$টি। থলি থেকে $3$টি বল উত্তোলনের মোট উপায় সংখ্যা: $$n(S) = {}^{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$$ কমপক্ষে $2$টি কালো বল পাওয়ার ঘটনাটি হলো: ($2$টি কালো ও $1$টি অন্য রঙের) অথবা ($3$টি কালো)। যেহেতু কালো বল মাত্র $1$টি আছে, তাই $3$টি কালো বল পাওয়া অসম্ভব। সুতরাং, কমপক্ষে $2$টি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা $0$। (ঘ) সফিকের আশা: $3$টি বল একই রঙের হবে। $$P(\text{একই রঙ}) = P(\text{৩টি সাদা}) + P(\text{৩টি লাল}) = \frac{{}^4C_3 + {}^6C_3}{{}^{11}C_3} = \frac{4 + 20}{165} = \frac{24}{165} \approx 0.145$$ রফিকের আশা: $3$টি বল ভিন্ন রঙের হবে। $$P(\text{ভিন্ন রঙ}) = \frac{{}^4C_1 \times {}^1C_1 \times {}^6C_1}{{}^{11}C_3} = \frac{4 \times 1 \times 6}{165} = \frac{24}{165} \approx 0.145$$ বিশ্লেষণ: উভয় ঘটনার সম্ভাবনা সমান ($rac{24}{165}$)। সুতরাং, সফিক ও রফিকের মধ্যে কেউ এককভাবে বিজয়ী হবে না, তারা সমপর্যায়ে থাকবে।