(ক) অভিকর্ষ কেন্দ্র হলো বস্তুর ভেতরের এমন একটি নির্দিষ্ট বিন্দু, যার মধ্য দিয়ে বস্তুর মোট ওজন সর্বদা খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে, বস্তুটি যে অবস্থাতেই বা যে অবস্থানেই থাকুক না কেন।

(খ) আমরা জানি, পৃথিবীর ভর $M$, ব্যাসার্ধ $R$ এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক $G$ হলে, পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = \frac{GM}{R^2}$।

একইভাবে পৃথিবীর কেন্দ্র হতে $r$ দূরত্বে (যেখানে $r \ge R$) কোনো স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g' = \frac{GM}{r^2}$।

যেহেতু মহাকর্ষীয় ধ্রুবক $G$ এবং পৃথিবীর ভর $M$ ধ্রুবক, তাই $g' \propto \frac{1}{r^2}$।

অর্থাৎ, পৃথিবীর পৃষ্ঠে বা বাইরের কোনো স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান পৃথিবীর কেন্দ্র হতে ঐ স্থানের দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক।

(গ)

দেওয়া আছে,

পৃথিবীর ভর, $M_e = 6 \times 10^{24} kg$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R_e = 6.4 \times 10^3 km = 6.4 \times 10^6 m$

অন্য গ্রহের ভর, $M_p = 16 M_e$

অন্য গ্রহের ব্যাস, $D_p = 8 R_e$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 kg^{-2}$

অন্য গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_p = ?$

সমাধান:

অন্য গ্রহের ব্যাসার্ধ, $R_p = \frac{D_p}{2} = \frac{8 R_e}{2} = 4 R_e$

আমরা জানি, গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$$g_p = \frac{G M_p}{R_p^2}$$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$$g_p = \frac{G (16 M_e)}{(4 R_e)^2}$$

$$g_p = \frac{16 G M_e}{16 R_e^2}$$

$$g_p = \frac{G M_e}{R_e^2}$$

সমীকরণ হতে দেখা যাচ্ছে যে, অন্য গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের ($g_e$) সমান।

এখন উদ্দীপকের মান বসিয়ে পাই,

$$g_p = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6)^2}$$

$$g_p = \frac{40.038 \times 10^{13}}{40.96 \times 10^{12}}$$

$$g_p = \frac{400.38 \times 10^{12}}{40.96 \times 10^{12}}$$

$$g_p = 9.77 \text{ m s}^{-2}$$

সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লিখিত অন্য গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান $9.77 \text{ m s}^{-2}$।

(ঘ)

দেওয়া আছে,

পৃথিবীর ভর $= M_e$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $= R_e$

অন্য গ্রহের ভর, $M_p = 16 M_e$

অন্য গ্রহের ব্যাসার্ধ, $R_p = 4 R_e$

সমাধান:

আমরা জানি, কোনো গ্রহের পৃষ্ঠ হতে বস্তুর মুক্তিবেগ, $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

উক্ত সমীকরণ হতে দেখা যায়, মুক্তিবেগ কেবল গ্রহের ভর ($M$) এবং গ্রহের ব্যাসার্ধ ($R$)-এর ওপর নির্ভর করে। এটি নিক্ষিপ্ত বস্তুর ভরের ওপর নির্ভর করে না। তাই বস্তুর ভর অর্ধেক করা হলেও মুক্তিবেগের কোনো পরিবর্তন হবে না।

ভূপৃষ্ঠে মুক্তিবেগ,

$$v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$$

অন্য গ্রহের পৃষ্ঠে মুক্তিবেগ,

$$v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}}$$

মান বসিয়ে পাই,

$$v_p = \sqrt{\frac{2G(16M_e)}{4R_e}}$$

$$v_p = \sqrt{4 \times \frac{2GM_e}{R_e}}$$

$$v_p = 2 \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$$

$$v_p = 2 v_e$$

গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, বস্তুর ভর অর্ধেক করা হলেও অন্য গ্রহটি হতে মহাশূন্যে নিক্ষেপ করতে প্রয়োজনীয় মুক্তিবেগ ভূপৃষ্ঠের মুক্তিবেগের দ্বিগুণ ($2v_e$) হবে। সুতরাং প্রয়োজনীয় মুক্তিবেগ ভূপৃষ্ঠের মুক্তিবেগের সমান হবে না।