(ক) অনুকল্প হলো কোনো পর্যবেক্ষণ, ঘটনা বা বৈজ্ঞানিক সমস্যার জন্য একটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা বা ধারণা, যা আরও পরীক্ষা-নিরীক্ষা ও অনুসন্ধানের মাধ্যমে যাচাই করা যায়। (খ) প্রাসের গতি একটি দ্বিমাত্রিক গতি, কারণ এটি একই সাথে অনুভূমিক ও উল্লম্ব দিকে অগ্রসর হয়। কিন্তু প্রাসের ওপর ক্রিয়াশীল একমাত্র ত্বরণ হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$), যা সর্বদা খাড়া নিচের দিকে কাজ করে। অনুভূমিক দিকে কোনো বল বা ত্বরণ কাজ করে না। যেহেতু ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি এবং এর দিক শুধুমাত্র উল্লম্ব দিকে নির্দিষ্ট, তাই প্রাসের বেগ দ্বিমাত্রিক হলেও ত্বরণ একমাত্রিক। (গ) দেওয়া আছে, নিক্ষেপণ বেগ $v_0$ এবং নিক্ষেপণ কোণ $\theta$। অনুভূমিক পাল্লা, $R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$ সর্বোচ্চ উচ্চতা, $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$ প্রশ্নমতে, $R = H$ হলে, $$ \begin{aligned} \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} &= \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} \\ \Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta &= \frac{\sin^2 \theta}{2} \\ \Rightarrow 4 \cos \theta &= \sin \theta \\ \Rightarrow \tan \theta &= 4 \\ \Rightarrow \theta &= \tan^{-1}(4) \\ \Rightarrow \theta &= 75.96^{\circ} \end{aligned} $$ অতএব, নিক্ষিপ্ত বস্তুটির অনুভূমিক পাল্লা ও সর্বোচ্চ উচ্চতা সমান হলে $\theta = 75.96^{\circ}$। (ঘ) এখানে, $v_0 = 20 \text{ m s}^{-1}$। অনুভূমিক পাল্লা সর্বাধিক হওয়ার শর্ত হলো $\theta = 45^{\circ}$। উল্লম্ব সরণ, $y = 0.64 \text{ m}$। উল্লম্ব গতির সমীকরণ থেকে পাই, $$ \begin{aligned} y &= v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \\ 0.64 &= 20 \sin 45^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\ 0.64 &= 14.142 t - 4.9 t^2 \\ \Rightarrow 4.9 t^2 - 14.142 t + 0.64 &= 0 \end{aligned} $$ দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে পাই, $$ \begin{aligned} t &= \frac{-(-14.142) \pm \sqrt{(-14.142)^2 - 4 \times 4.9 \times 0.64}}{2 \times 4.9} \\ &= \frac{14.142 \pm \sqrt{200 - 12.544}}{9.8} \\ &= \frac{14.142 \pm 13.69}{9.8} \end{aligned} $$ এখানে $t$ এর দুটি মান পাওয়া যায়: $t_1 \approx 2.84 \text{ s}$ এবং $t_2 \approx 0.046 \text{ s}$। $t = 2.84 \text{ s}$ এর জন্য অনুভূমিক দূরত্ব, $$ \begin{aligned} x &= v_0 \cos \theta \cdot t \\ &= 20 \cos 45^{\circ} \times 2.84 \\ &= 14.142 \times 2.84 \\ &= 40.16 \text{ m} \end{aligned} $$ $t = 0.046 \text{ s}$ এর জন্য অনুভূমিক দূরত্ব, $$ \begin{aligned} x &= 14.142 \times 0.046 \\ &= 0.65 \text{ m} \end{aligned} $$ সুতরাং, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(40.16, 0.64)$ অথবা $(0.65, 0.64)$ হতে পারে।