(ক) প্রাস বা নিক্ষিপ্ত বস্তু নিক্ষেপের পর থেকে ভূমিতে ফিরে আসতে যে সময় নেয়, এই সময়ে অনুভূমিক দিকে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে অনুভূমিক পাল্লা বলে। (খ) বৃত্তাকার পথে সুষম দ্রুতিতে চলমান বস্তুর বেগের মান অপরিবর্তিত থাকলেও প্রতি মুহূর্তে গতির দিক পরিবর্তিত হয়। যেহেতু বেগ একটি ভেক্টর রাশি, তাই বেগের দিক পরিবর্তনের কারণে বেগের পরিবর্তন ঘটে। বেগের পরিবর্তনের হারই হলো ত্বরণ। তাই বৃত্তাকার পথে সুষম দ্রুতিতে চলমান বস্তুর ত্বরণ থাকে। (গ) দেওয়া আছে, আদিবেগ, $v_0 = 30 \text{ m s}^{-1}$ নিক্ষেপণ কোণ, $\theta_0 = 30^{\circ}$ সময়, $t = 2 \text{ s}$ অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$ $t = 2 \text{ s}$ সময় পর অনুভূমিক ও উল্লম্ব বেগের উপাংশসমূহ হলো, $$ \begin{aligned} v_x &= v_0 \cos \theta_0 \\ &= 30 \cos 30^{\circ} \\ &= 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 15\sqrt{3} \approx 25.98 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} v_y &= v_0 \sin \theta_0 - gt \\ &= 30 \sin 30^{\circ} - 9.8 \times 2 \\ &= 15 - 19.6 \\ &= -4.6 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ বেগের লব্ধি মান, $$ \begin{aligned} v &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\ &= \sqrt{(25.98)^2 + (-4.6)^2} \\ &= \sqrt{674.96 + 21.16} \\ &= \sqrt{696.12} \approx 26.38 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ বেগের দিক, $$ \begin{aligned} \phi &= \tan^{-1} \left( \frac{|v_y|}{v_x} \right) \\ &= \tan^{-1} \left( \frac{4.6}{25.98} \right) \approx 10.04^{\circ} \end{aligned} $$ অর্থাৎ, বেগ $26.38 \text{ m s}^{-1}$ এবং তা অনুভূমিকের সাথে নিচের দিকে $10.04^{\circ}$ কোণে ক্রিয়াশীল। (ঘ) দালানের উচ্চতা, $h = 100 \text{ m}$ প্রথম বস্তুর ক্ষেত্রে (অনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত): উল্লম্ব সরণ $h = \frac{1}{2}gt_1^2$ $$ \begin{aligned} 100 &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2 \\ \Rightarrow t_1^2 &= \frac{200}{9.8} \approx 20.41 \\ \Rightarrow t_1 &= \sqrt{20.41} \approx 4.52 \text{ s} \end{aligned} $$ দ্বিতীয় বস্তুর ক্ষেত্রে (কোণ করে নিক্ষিপ্ত): উল্লম্ব সরণ $h = -v_0 \sin \theta_0 t_2 + \frac{1}{2}gt_2^2$ (নিচের দিকে সরণকে ঋণাত্মক ধরলে), $$ \begin{aligned} -100 &= (30 \sin 30^{\circ}) t_2 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_2^2 \\ \Rightarrow -100 &= 15t_2 - 4.9t_2^2 \\ \Rightarrow 4.9t_2^2 - 15t_2 - 100 &= 0 \end{aligned} $$ দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \times 4.9 \times (-100)}}{2 \times 4.9} \\ &= \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1960}}{9.8} \\ &= \frac{15 \pm 46.74}{9.8} \end{aligned} $$ যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই, $$ \begin{aligned} t_2 &= \frac{15 + 46.74}{9.8} \approx 6.30 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_1 \neq t_2$, তাই বস্তু দুটি একই সময়ে ভূমিতে আঘাত করবে না।