(ক) সমবিভব তল কী? তড়িৎ ক্ষেত্রের যে তলের সকল বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের মান সমান থাকে, তাকে সমবিভব তল বলে। (খ) প্রথম দিকে ক্যাপাসিটারের বিভব 1 V বৃদ্ধি করতে যে শক্তি ব্যায়িত হবে, পরবর্তীতে বিভব 1 V বৃদ্ধি করতে একই পরিমাণ শক্তির প্রয়োজন হবে কি? ব্যাখ্যা কর। না, প্রথম দিকে ক্যাপাসিটারের বিভব $1V$ বৃদ্ধি করতে যে শক্তি ব্যয় হবে, পরবর্তীতে বিভব $1V$ বৃদ্ধি করতে একই পরিমাণ শক্তির প্রয়োজন হবে না; বরং বেশি শক্তির প্রয়োজন হবে। আমরা জানি, ধারকের সঞ্চিত শক্তি: $$U = \frac{1}{2}CV^2$$ এখানে, $C$ হলো ধারকের ধারকত্ব এবং $V$ হলো বিভব পার্থক্য। ধরি, ধারকের বিভব $0V$ থেকে $1V$ করতে প্রয়োজনীয় শক্তি $U_1$ এবং $1V$ থেকে $2V$ করতে প্রয়োজনীয় শক্তি $U_2$। তাহলে, $$U_1 = \frac{1}{2}C(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}C$$ এবং $$U_2 = \frac{1}{2}C(2^2 - 1^2) = \frac{3}{2}C$$ দেখা যাচ্ছে যে, $U_2 > U_1$। অর্থাৎ, বিভব বৃদ্ধির সাথে সাথে পরবর্তী প্রতি $1V$ বিভব বৃদ্ধির জন্য ক্রমান্বয়ে বেশি কাজ বা শক্তির প্রয়োজন হয়। কারণ ধারকে ইতিমধ্যে সঞ্চিত আধানের বিকর্ষণ বলের বিরুদ্ধে নতুন আধান জমা করতে বেশি কাজ করতে হয়। (গ) ক্যাপাসিটারটিকে চার্জিত করতে মোট কত শক্তি ব্যায়িত হবে? উদ্দীপক হতে পাই, ধারকত্ব, $C = 1F$ বিভব পার্থক্য, $V = 220V$ ধারকটিকে চার্জিত করতে মোট সঞ্চিত বা ব্যয়িত শক্তি $E$ হলে, $$ \begin{aligned} E &= \frac{1}{2}CV^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 1 \times (220)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 48400 \\ &= 24200J \end{aligned} $$ অতএব, ক্যাপাসিটারটিকে চার্জিত করতে মোট $24200J$ শক্তি ব্যয় হবে। (ঘ) তারে উদ্ভূত তাপশক্তির কোনো অংশ পরিপার্শ্বে ক্ষরিত না হলে এর তাপমাত্রা কত বৃদ্ধি পাবে? সময়ের সাথে তাপমাত্রা কত বৃদ্ধি পাবে? সময়ের সাথে তাপমাত্রা বৃদ্ধির লেখ দেখতে কেমন হবে? এর সপক্ষে মতামত বিশ্লেষণ কর। উদ্দীপক হতে পাই, ব্যয়িত মোট তড়িৎশক্তি, $E = 24200J$ ব্যয়িত তড়িৎশক্তির তাপশক্তিতে রূপান্তরের হার $= 40\%$ তারের উপাদানের আপেক্ষিক তাপ, $s = 2900\text{ J kg}^{-1}K^{-1}$ তারের ভর, $m = 100g = 0.1kg$ উৎপন্ন তাপশক্তি, $H = E \times 40\%$ $$ \begin{aligned} H &= 24200 \times 0.4 \\ &= 9680J \end{aligned} $$ ধরি, তারের তাপমাত্রা বৃদ্ধি $\Delta \theta$। আমরা জানি, $$H = ms\Delta \theta$$ $$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad \Delta \theta &= \frac{H}{ms} \\ &= \frac{9680}{0.1 \times 2900} \\ &= \frac{9680}{290} \\ &\approx 33.38K \end{aligned} $$ সুতরাং, তারের তাপমাত্রা $33.38K$ বা $33.38^{\circ}C$ বৃদ্ধি পাবে। **সময়ের সাথে তাপমাত্রা বৃদ্ধির বিশ্লেষণ ও লেখচিত্র:** ধারকটি যখন রোধের মধ্য দিয়ে ডিসচার্জ হতে শুরু করে, তখন তড়িৎ প্রবাহের মান সময়ের সাথে সাথে সূচকীয়ভাবে (exponentially) হ্রাস পায়। যেকোনো সময় $t$-তে তড়িৎ প্রবাহের সমীকরণ: $$I = I_0 e^{-\frac{t}{RC}}$$ এখানে, $I_0$ হলো প্রারম্ভিক সর্বোচ্চ তড়িৎ প্রবাহ। যেকোনো সময় $t$-তে তারে উৎপন্ন তাপশক্তি: $$H(t) = 0.4 \times \int_0^t I^2 R \, dt$$ $$ \begin{aligned} H(t) &= 0.4 \times \int_0^t I_0^2 R e^{-\frac{2t}{RC}} \, dt \\ &= 0.4 \times I_0^2 R ( -\frac{RC}{2} ) [ e^{-\frac{2t}{RC}} ]_0^t \\ &= 0.4 \times \frac{1}{2} C (I_0 R)^2 ( 1 - e^{-\frac{2t}{RC}} ) \end{aligned} $$ যেহেতু শুরুতে সর্বোচ্চ বিভব $V = I_0 R = 220V$, তাই: $$H(t) = 0.4 \times \frac{1}{2} C V^2 ( 1 - e^{-\frac{2t}{RC}} ) = 9680 ( 1 - e^{-\frac{2t}{RC}} )$$ অতএব, যেকোনো সময় $t$-তে তাপমাত্রা বৃদ্ধি: $$\Delta \theta(t) = \frac{H(t)}{ms} = 33.38 ( 1 - e^{-\frac{2t}{RC}} )$$ এই সমীকরণ থেকে স্পষ্ট যে, সময়ের সাথে তাপমাত্রা বৃদ্ধির লেখচিত্রটি একটি সূচকীয় বক্ররেখা (exponential curve) হবে। শুরুতে ($t = 0$) তাপমাত্রা বৃদ্ধি শূন্য থাকে এবং সময় বাড়ার সাথে সাথে তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেতে থাকে। অসীম সময়ে ($t \to \infty$) তাপমাত্রা বৃদ্ধি সর্বোচ্চ মান $33.38K$-এ পৌঁছাবে। অর্থাৎ, লেখচিত্রটির ঢাল সময়ের সাথে সাথে হ্রাস পাবে এবং শেষ পর্যন্ত তা সময়ের অক্ষের সমান্তরাল হয়ে যাবে।