(ক) $M = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} -3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$। $$MN = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 10 & 12 \\ -27 & 45 & 54 \\ 9 & -15 & -18 \end{pmatrix}$$ $$(MN)^T = \begin{pmatrix} -6 & -27 & 9 \\ 10 & 45 & -15 \\ 12 & 54 & -18 \end{pmatrix}$$ (খ) $t=1, u=2, v=3$ বসিয়ে পাই: $x + 2y + 3z = 5$ $x + 4y + 9z = 5$ $7y + 26z = -5$ সহগ নির্ণায়ক $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 0 & 7 & 26 \end{vmatrix} = 1(104-63) - 2(26-0) + 3(7-0) = 41 - 52 + 21 = 10$। $D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 9 \\ -5 & 7 & 26 \end{vmatrix} = 5(104-63) - 2(130+45) + 3(35+20) = 205 - 350 + 165 = 20$। $D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \\ 0 & -5 & 26 \end{vmatrix} = 1(130+45) - 5(26-0) + 3(-5-0) = 175 - 130 - 15 = 30$। $D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 7 & -5 \end{vmatrix} = 1(-20-35) - 2(-5-0) + 5(7-0) = -55 + 10 + 35 = -10$। সুতরাং, $x = \frac{20}{10} = 2$, $y = \frac{30}{10} = 3$, $z = \frac{-10}{10} = -1$। (গ) $D = \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ t^3-1 & u^3-1 & v^3-1 \end{vmatrix}$। নির্ণায়কটিকে দুটি নির্ণায়কের বিয়োগফল হিসেবে লিখলে: $$D = \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ t^3 & u^3 & v^3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ প্রথম নির্ণায়ক থেকে $t, u, v$ কমন নিলে এবং দ্বিতীয় নির্ণায়কের সারি বিনিময় করলে: $$D = tuv \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix} = (tuv-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix}$$ এটি একটি ভ্যান্ডারমন্ড নির্ণায়ক, যার মান $(t-u)(u-v)(v-t)$। সুতরাং, $D = (tuv-1)(t-u)(u-v)(v-t)$। প্রমাণিত।