(ক) বামপক্ষ $$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & a & b+c \\ 3 & b & c+a \\ 3 & c & a+b \end{vmatrix}$$ প্রথম কলাম থেকে ৩ কমন নিয়ে পাই: $$\Delta = 3 \begin{vmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & c+a \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix}$$ তৃতীয় কলামের সাথে দ্বিতীয় কলাম যোগ করে ($c_3' = c_3 + c_2$): $$\Delta = 3 \begin{vmatrix} 1 & a & a+b+c \\ 1 & b & a+b+c \\ 1 & c & a+b+c \end{vmatrix}$$ তৃতীয় কলাম থেকে $(a+b+c)$ কমন নিয়ে পাই: $$\Delta = 3(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}$$ যেহেতু নির্ণায়কের প্রথম ও তৃতীয় কলাম অভিন্ন, তাই নির্ণায়কের মান শূন্য। $$\therefore \Delta = 3(a+b+c) \times 0 = 0 = \text{ডানপক্ষ (দেখানো হলো)} $$ (খ) দেওয়া আছে, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13 \end{bmatrix}$ এবং $B = \begin{bmatrix} 8 \\ 12 \\ 21 \end{bmatrix}$। $P = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}$ হলে, $P^t = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$। শর্তমতে, $B = A^{-1}P^t$ বা $P^t = (A^{-1})^{-1}B = AB$। প্রথমে $A = (A^{-1})^{-1}$ নির্ণয় করি। $$|A^{-1}| = 1(39-35) - 2(26-21) + 5(10-9) = 4 - 10 + 5 = -1$$ $A^{-1}$ এর অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স: $$adj(A^{-1}) = \begin{bmatrix} 4 & -1 & -1 \\ -5 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 4 & -5 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \end{bmatrix}$$ $$A = (A^{-1})^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 4 & -5 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$$ এখন, $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \\ 12 \\ 21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32+60-21 \\ 8+24-21 \\ 8-36+21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 11 \\ -7 \end{bmatrix}$$ সুতরাং, $P = \begin{bmatrix} 7 & 11 & -7 \end{bmatrix}$। (গ) বামপক্ষ $B^tA = \begin{bmatrix} 8 & 12 & 21 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$ $$\begin{aligned} B^tA &= \begin{bmatrix} (8)(-4)+(12)(1)+(21)(1) & (8)(5)+(12)(2)+(21)(-3) & (8)(-1)+(12)(-1)+(21)(1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -32+12+21 & 40+24-63 & -8-12+21 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$ দ্রষ্টব্য: উদ্দীপকের তথ্যানুসারে $B^tA$ এর মান $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ পাওয়া যায়, যা উদ্দীপকের প্রদত্ত মানের সাথে ভিন্ন।