(ক) বামপক্ষ $= \begin{vmatrix} 3 & a & b+c \\ 3 & b & c+a \\ 3 & c & a+b \end{vmatrix}$ দ্বিতীয় সারি থেকে প্রথম সারি বিয়োগ করে ($r_2' = r_2 - r_1$) এবং তৃতীয় সারি থেকে প্রথম সারি বিয়োগ করে ($r_3' = r_3 - r_1$) পাই, $$\begin{aligned} \text{বামপক্ষ} &= \begin{vmatrix} 3 & a & b+c \\ 3-3 & b-a & c+a-b-c \\ 3-3 & c-a & a+b-b-c \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 3 & a & b+c \\ 0 & b-a & a-b \\ 0 & c-a & a-c \end{vmatrix} \end{aligned}$$ প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই, $$\begin{aligned} \text{বামপক্ষ} &= 3 \begin{vmatrix} b-a & a-b \\ c-a & a-c \end{vmatrix} \\ &= 3 \begin{vmatrix} -(a-b) & (a-b) \\ -(a-c) & (a-c) \end{vmatrix} \\ &= 3(a-b)(a-c) \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 3(a-b)(a-c) \times (-1 + 1) \\ &= 3(a-b)(a-c) \times 0 \\ &= 0 \end{aligned}$$ সুতরাং, বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)। (খ) দেওয়া আছে, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 8 \\ 12 \\ 21 \end{bmatrix}$ এবং $P = [x \ y \ z]$। যেহেতু $P = [x \ y \ z]$, তাই $P^t = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$। দেওয়া আছে, $B = A^{-1}P^t$। মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 8 \\ 12 \\ 21 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} 8 \\ 12 \\ 21 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x + 2y + 5z \\ 2x + 3y + 7z \\ 3x + 5y + 13z \end{bmatrix} \end{aligned} $$ ম্যাট্রিক্সের সমতা থেকে পাই, $$ \begin{aligned} x + 2y + 5z &= 8 \quad \dots (1) \\ 2x + 3y + 7z &= 12 \quad \dots (2) \\ 3x + 5y + 13z &= 21 \quad \dots (3) \end{aligned} $$ ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী, সহগ নির্ণায়ক $D$, $$ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13 \end{vmatrix} \\ &= 1(39 - 35) - 2(26 - 21) + 5(10 - 9) \\ &= 4 - 10 + 5 = -1 \end{aligned} $$ এখন, $$ \begin{aligned} D_x &= \begin{vmatrix} 8 & 2 & 5 \\ 12 & 3 & 7 \\ 21 & 5 & 13 \end{vmatrix} = 8(39-35) - 2(156-147) + 5(60-63) = 32 - 18 - 15 = -1 \\ D_y &= \begin{vmatrix} 1 & 8 & 5 \\ 2 & 12 & 7 \\ 3 & 21 & 13 \end{vmatrix} = 1(156-147) - 8(26-21) + 5(42-36) = 9 - 40 + 30 = -1 \\ D_z &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 2 & 3 & 12 \\ 3 & 5 & 21 \end{vmatrix} = 1(63-60) - 2(42-36) + 8(10-9) = 3 - 12 + 8 = -1 \end{aligned} $$ সুতরাং, $x = \frac{D_x}{D} = \frac{-1}{-1} = 1$, $y = \frac{D_y}{D} = \frac{-1}{-1} = 1$, $z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{-1} = 1$। অতএব, $P = [1 \ 1 \ 1]$। (গ) আমরা জানি, $(A^{-1})^{-1} = A$। ধরি, $C = A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13 \end{bmatrix}$। নির্ণায়ক $|C| = -1$ (খ অংশ থেকে প্রাপ্ত)। সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বা অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স $Adj C$ নির্ণয় করি, $$ Adj C = \begin{bmatrix} 4 & -1 & -1 \\ -5 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ সুতরাং, $A = C^{-1} = \frac{1}{|C|} Adj C = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 4 & -1 & -1 \\ -5 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$। এখন, $$ \begin{aligned} B^tA &= \begin{bmatrix} 8 & 12 & 21 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (8 \times -4) + (12 \times 5) + (21 \times -1) & (8 \times 1) + (12 \times 2) + (21 \times -1) & (8 \times 1) + (12 \times -3) + (21 \times 1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -32 + 60 - 21 & 8 + 24 - 21 & 8 - 36 + 21 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 7 & 11 & -7 \end{bmatrix} \end{aligned} $$ সুতরাং, $B^tA = [7 \ 11 \ -7]$ (দেখানো হলো)।