(ক) সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক ($R$) এবং অ্যাভোগেড্রো সংখ্যার ($N_A$) অনুপাতকে বোল্টজম্যান ধ্রুবক ($k_B$) বলে। (খ) স্থির আয়তনে নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের চাপ তার পরম তাপমাত্রার সমানুপাতিক। অর্থাৎ, স্থির আয়তনে, $P \propto T$। সমানুপাতিক ধ্রুবক $K$ হলে, $P = KT$। পরম তাপমাত্রা বৃদ্ধির সাথে গ্যাসের চাপ সমান হারে বৃদ্ধি পায়। চাপ বনাম পরম তাপমাত্রার লেখচিত্রটি একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা হয়। (গ) দেওয়া আছে, তাপমাত্রা $T = 273 \text{ K}$। $\text{H}_2$ এর আণবিক ভর, $M_{\text{H}_2} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$ $\text{O}_2$ এর আণবিক ভর, $M_{\text{O}_2} = 32 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$ গ্যাস ধ্রুবক, $R = 8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ আমরা জানি, rms দ্রুতি, $C_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ $\text{H}_2$ এর ক্ষেত্রে: $$C_{\text{rms, H}_2} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 273}{2 \times 10^{-3}}} \approx 1845.15 \text{ ms}^{-1}$$ $\text{O}_2$ এর ক্ষেত্রে: $$C_{\text{rms, O}_2} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 273}{32 \times 10^{-3}}} \approx 461.29 \text{ ms}^{-1}$$ সুতরাং, $\text{H}_2$ এর rms দ্রুতি $\text{O}_2$ এর চেয়ে বেশি ছিল: $$1845.15 - 461.29 = 1383.86 \text{ ms}^{-1}$$ (ঘ) উভয় গ্যাসের rms দ্রুতি সমান করার জন্য $\text{H}_2$ গ্যাসের তাপমাত্রা এমনভাবে পরিবর্তন করতে হবে যেন তার rms দ্রুতি $\text{O}_2$ এর সমান হয়। ধরি, পরিবর্তিত তাপমাত্রা $T_2$ এবং মোল সংখ্যা $n_2$। শর্তমতে, $C_{\text{rms, H}_2} = C_{\text{rms, O}_2} = 461.29 \text{ ms}^{-1}$। $$\begin{aligned} \sqrt{\frac{3RT_2}{M_{\text{H}_2}}} &= 461.29 \\ \Rightarrow \frac{3RT_2}{2 \times 10^{-3}} &= (461.29)^2 \\ \Rightarrow T_2 &= \frac{(461.29)^2 \times 2 \times 10^{-3}}{3 \times 8.314} \approx 17.06 \text{ K} \end{aligned}$$ যেহেতু পাত্রের আয়তন ও চাপ অপরিবর্তিত, তাই আদর্শ গ্যাস সমীকরণ $PV = nRT$ অনুযায়ী, $n_1 T_1 = n_2 T_2$। $$\begin{aligned} n_2 &= n_1 \times \frac{T_1}{T_2} \\ &= 1 \times \frac{273}{17.06} \approx 16 \text{ mol} \end{aligned}$$ অর্থাৎ, উভয় গ্যাসের rms দ্রুতি সমান করার জন্য $\text{H}_2$ গ্যাসের পরিমাণ বাড়িয়ে ১৬ মোল করতে হবে।