ক. ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি ধনাত্মক অক্ষ বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর ($\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$) বিবেচনা করা হয়, তাদের আয়ত একক ভেক্টর বলে। খ. দোলকের দোলনকাল এর কার্যকরী দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমানুপাতিক ($T \propto \sqrt{L}$)। ববটি তরল দ্বারা পূর্ণ থাকলে ভারকেন্দ্র জ্যামিতিক কেন্দ্রে থাকে। অর্ধপূর্ণ ববের ক্ষেত্রে তরলের ভর নিচে নেমে যাওয়ায় সামগ্রিক ভারকেন্দ্র জ্যামিতিক কেন্দ্র থেকে নিচে নেমে যায়, ফলে কার্যকরী দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায়। কার্যকরী দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়ায় দোলনকালও বৃদ্ধি পায়। গ. সরণের সমীকরণ, $y = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ বেগ, $v = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos \omega t - b\omega \sin \omega t$ ত্বরণ, $a' = \frac{dv}{dt} = -a\omega^2 \sin \omega t - b\omega^2 \cos \omega t$ $$\Rightarrow a' = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) = -\omega^2 y$$ যেহেতু $a' \propto -y$, তাই কণাটির গতি সরল ছন্দিত স্পন্দন। ঘ. সরণ $y = A \sin(\omega t + \delta)$ আকারে প্রকাশ করলে বিস্তার $A = \sqrt{a^2 + b^2}$। প্রদত্ত মান $a = 5 \text{ m}$ এবং $b = 5\sqrt{3} \text{ m}$ হলে, $$A = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}$$ সুতরাং, কণাটির বিস্তার নির্ণয় করা সম্ভব এবং এর মান $10 \text{ m}$।