দেওয়া আছে, $$|\vec{P}|=3 \text{ m}$$ $$|\vec{Q}|=4 \text{ m}$$ ধরি, লব্ধির মান $$|\vec{R}|$$ এবং ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $$\alpha$$। আমরা জানি, $$|\vec{R}| = \sqrt{|\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2|\vec{P}||\vec{Q}| \cos \alpha}$$ (i) লব্ধি $$|\vec{R}| = 1 \text{ m}$$ হলে, $$\begin{aligned} 1 &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 2 \times 3 \times 4 \cos \alpha} \\ \Rightarrow 1^2 &= 3^2 + 4^2 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 1 &= 9 + 16 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 1 &= 25 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 24 \cos \alpha &= 1 - 25 \\ \Rightarrow 24 \cos \alpha &= -24 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= -1 \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}(-1) \\ \therefore \alpha &= 180^\circ \end{aligned}$$ অর্থাৎ, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর বিপরীতমুখী ও সমান্তরাল হলে লব্ধি $$1 \text{ m}$$ হবে। (ii) লব্ধি $$|\vec{R}| = 7 \text{ m}$$ হলে, $$\begin{aligned} 7 &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 2 \times 3 \times 4 \cos \alpha} \\ \Rightarrow 7^2 &= 3^2 + 4^2 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 49 &= 9 + 16 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 49 &= 25 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 24 \cos \alpha &= 49 - 25 \\ \Rightarrow 24 \cos \alpha &= 24 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= 1 \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}(1) \\ \therefore \alpha &= 0^\circ \end{aligned}$$ অর্থাৎ, ভেক্টরদ্বয় একই দিকে ক্রিয়া করলে লব্ধি $$7 \text{ m}$$ হবে। (iii) লব্ধি $$|\vec{R}| = 5 \text{ m}$$ হলে, $$\begin{aligned} 5 &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 2 \times 3 \times 4 \cos \alpha} \\ \Rightarrow 5^2 &= 3^2 + 4^2 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 25 &= 9 + 16 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 25 &= 25 + 24 \cos \alpha \\ \Rightarrow 24 \cos \alpha &= 25 - 25 \\ \Rightarrow 24 \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \cos \alpha &= 0 \\ \Rightarrow \alpha &= \cos^{-1}(0) \\ \therefore \alpha &= 90^\circ \end{aligned}$$ অর্থাৎ, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধি $$5 \text{ m}$$ হবে।