(ক) কোনো গতিশীল বস্তুর আদি বেগ এবং শেষ বেগের অভিমুখ একই হলে, তাদের গাণিতিক গড়কে মধ্য বেগ বলে। (খ) নৌকার গুণ টানার সময় প্রযুক্ত বল $F$ কে দুটি লম্ব উপাংশে বিভাজিত করা যায়। একটি হলো অনুভূমিক উপাংশ $F \cos \theta$, যা নৌকাকে সামনের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায় এবং অন্যটি হলো উলম্ব উপাংশ $F \sin \theta$, যা নৌকার হাল দ্বারা প্রতিহত হয়। যেহেতু নৌকাটি $F \cos \theta$ উপাংশের কারণে সামনের দিকে অগ্রসর হয়, তাই এই উপাংশের মান বাড়লে নৌকার গতি বৃদ্ধি পাবে। গুণ বা দড়ি লম্বা করলে গুণ টানার কোণ $\theta$ এর মান হ্রাস পায়। ফলে $\cos \theta$ এর মান বৃদ্ধি পায় এবং সামগ্রিকভাবে $F \cos \theta$ এর মান বৃদ্ধি পাওয়ায় নৌকার গতিবেগ বৃদ্ধি পায়। (গ) দেওয়া আছে, নিক্ষেপণ বেগ, $v_0 = 14 \text{ ms}^{-1}$ নিক্ষেপণ কোণ, $\theta_0 = 30^\circ$ অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$ সর্বোচ্চ উচ্চতার সূত্রানুসারে, $$ \begin{aligned} H &= \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \\ &= \frac{14^2 \times \sin^2 30^\circ}{2 \times 9.8} \\ &= \frac{196 \times (0.5)^2}{19.6} \\ &= \frac{196 \times 0.25}{19.6} \\ &= 2.5 \text{ m} \end{aligned} $$ সুতরাং, বলটির সর্বোচ্চ উচ্চতা $2.5 \text{ m}$। (ঘ) গোলরক্ষক গোলপোস্ট থেকে $1 \text{ m}$ সামনে দাঁড়িয়ে আছে। গোলপোস্টের দূরত্ব $10.97 \text{ m}$ হলে, গোলরক্ষকের অবস্থান গোলপোস্ট থেকে $10.97 - 1 = 9.97 \text{ m}$ দূরত্বে। প্রাস বা বলের গতিপথের সমীকরণ থেকে পাই, $$ \begin{aligned} y &= x \tan \theta_0 - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta_0} \end{aligned} $$ এখানে, $x = 9.97 \text{ m}$ বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} y &= 9.97 \times \tan 30^\circ - \frac{9.8 \times (9.97)^2}{2 \times 14^2 \times \cos^2 30^\circ} \\ &= 9.97 \times 0.57735 - \frac{9.8 \times 99.4009}{392 \times 0.75} \\ &= 5.756 - \frac{974.12882}{294} \\ &= 5.756 - 3.313 \\ &= 2.443 \text{ m} \end{aligned} $$ গোলরক্ষক সর্বোচ্চ $2.2 \text{ m}$ উচ্চতা পর্যন্ত বল ধরতে পারে। যেহেতু বলটি $9.97 \text{ m}$ দূরত্বে $2.443 \text{ m}$ উচ্চতায় থাকবে, যা গোলরক্ষকের নাগালের বাইরে, তাই গোলরক্ষক বলটি ধরতে পারবে না। এখন, গোলপোস্টের অবস্থানে ($x = 10.97 \text{ m}$) বলের উচ্চতা নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} y' &= 10.97 \times \tan 30^\circ - \frac{9.8 \times (10.97)^2}{2 \times 14^2 \times \cos^2 30^\circ} \\ &= 6.3335 - \frac{9.8 \times 120.3409}{294} \\ &= 6.3335 - 4.0114 \\ &= 2.3221 \text{ m} \end{aligned} $$ যেহেতু গোলপোস্টের উচ্চতা $2.44 \text{ m}$ এবং বলটি গোলপোস্ট অতিক্রম করার সময় $2.3221 \text{ m}$ উচ্চতায় থাকবে, অর্থাৎ বলটি গোলপোস্টের উচ্চতার চেয়ে নিচে দিয়ে যাবে, তাই বলটি গোল হবে।