(ক) একটি অণুর চারদিকে যে সর্বোচ্চ দূরত্ব পর্যন্ত এর আণবিক বলের প্রভাব অনুভূত হয়, তাকে ঐ অণুর আণবিক পাল্লা বলে।

(খ) না, স্প্রিং ধ্রুবকের একক $\text{kg m}^{-1}$ হতে পারে না।

আমরা জানি, স্প্রিং ধ্রুবক $k = \frac{F}{x}$। এখানে $F$ হলো বল যার একক $N$ এবং $x$ হলো সরণ যার একক $m$।

অতএব, স্প্রিং ধ্রুবকের একক হবে $\text{N m}^{-1}$।

আবার, $N = \text{kg m s}^{-2}$ হওয়ায় স্প্রিং ধ্রুবকের একককে $\text{kg s}^{-2}$ হিসেবেও প্রকাশ করা যায়।

তাই $\text{kg m}^{-1}$ এই রাশির স্প্রিং ধ্রুবকের একক হওয়ার কোনো গাণিতিক ভিত্তি নেই।

(গ)

দেওয়া আছে,

সরল দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য, $L = 11 cm = 0.11 m$

পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$

সৃষ্ট শব্দের কম্পাঙ্ক, $f = ?$

সমাধান:

আমরা জানি, সরল দোলকের পর্যায়কাল,

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

আবার, কম্পাঙ্ক $f = \frac{1}{T}$। অতএব,

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$$f = \frac{1}{2 \times 3.1416} \sqrt{\frac{9.8}{0.11}}$$

$$f \approx 0.159 \times \sqrt{89.09}$$

$$f \approx 0.159 \times 9.438$$

$$f \approx 1.50 Hz$$

সুতরাং, দোলক কর্তৃক সৃষ্ট শব্দের কম্পাঙ্ক $1.50 Hz$।

(ঘ)

দেওয়া আছে,

শ্রব্যতার ন্যূনতম কম্পাঙ্ক, $f_{min} = 20 Hz$

দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য, $L = 0.11 m$

পৃথিবীর আদি ভর, $M = 6 \times 10^{24} kg$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6 m$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 kg^{-2}$

সমাধান:

শব্দ শুনতে হলে কম্পাঙ্ক কমপক্ষে $20 Hz$ হতে হবে। ধরি, এই কম্পাঙ্কের জন্য প্রয়োজনীয় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g'$।

আমরা জানি, $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g'}{L}}$

বা, $g' = (2\pi f)^2 \cdot L$

$$g' = (2 \times 3.1416 \times 20)^2 \times 0.11$$

$$g' \approx (125.664)^2 \times 0.11$$

$$g' \approx 15791.36 \times 0.11 \approx 1737.05 \text{ m s}^{-2}$$

এখন, নতুন ভর $M'$ হলে আমরা জানি, $g' = \frac{GM'}{R^2}$

বা, $M' = \frac{g' R^2}{G}$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$$M' = \frac{1737.05 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.673 \times 10^{-11}}$$

$$M' = \frac{1737.05 \times 40.96 \times 10^{12}}{6.673 \times 10^{-11}}$$

$$M' \approx \frac{71149.5 \times 10^{12}}{6.673 \times 10^{-11}}$$

$$M' \approx 1.066 \times 10^{28} kg$$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দোলক কর্তৃক সৃষ্ট শব্দ শুনতে হলে পৃথিবীর ভর প্রায় $1.066 \times 10^{28} kg$ হতে হতো।