(ক) কোনো বস্তুর সকল কণার ওপর ক্রিয়াশীল অভিকর্ষজ বলের লব্ধি যে নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে ক্রিয়া করে, তাকে ওই বস্তুর ভারকেন্দ্র বলে। (খ) মুক্তিবেগ হলো সর্বনিম্ন যে বেগে কোনো বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা পৃথিবীর আকর্ষণ কাটিয়ে মহাশূন্যে চলে যায় এবং আর ফিরে আসে না। পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে নিক্ষিপ্ত কোনো বস্তুর মুক্তিবেগের সমীকরণ হলো: $$ \begin{aligned} v_e &= \sqrt{\frac{2GM}{R}} \\ &= \sqrt{2gR} \end{aligned} $$ এখানে, $G$ হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $M$ হলো পৃথিবীর ভর, $R$ হলো পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং $g$ হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ। এই সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের ওপর নির্ভর করে না। যেহেতু মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের ওপর নির্ভরশীল নয়, তাই পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে নিক্ষিপ্ত সকল বস্তুর মুক্তিবেগ অভিন্ন। (গ) এখানে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ উচ্চতা, $h = 700 \text{ km} = 7 \times 10^5 \text{ m}$ পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$ ভূপৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g'$ হলে, $$ \begin{aligned} g' &= \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 \times g \\ &= \left( \frac{6.4 \times 10^6}{6.4 \times 10^6 + 7 \times 10^5} \right)^2 \times 9.8 \\ &= \left( \frac{6.4 \times 10^6}{7.1 \times 10^6} \right)^2 \times 9.8 \\ &= (0.9014)^2 \times 9.8 \\ &= 0.8125 \times 9.8 \\ &= 7.9625 \text{ ms}^{-2} \end{aligned} $$ অতএব, ওই উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান প্রায় $7.96 \text{ ms}^{-2}$। (ঘ) এখানে, ভূস্থির উপগ্রহের পর্যায়কাল, $T = 24 \text{ hr} = 86400 \text{ s}$ আমরা জানি, $h$ উচ্চতায় ঘূর্ণায়মান উপগ্রহের পর্যায়কাল, $$ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}} \end{aligned} $$ উদ্দীপকের উচ্চতায় ($h = 700 \text{ km}$) উপগ্রহটির পর্যায়কাল, $$ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{(6.4 \times 10^6 + 7 \times 10^5)^3}{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{(7.1 \times 10^6)^3}{9.8 \times 4.096 \times 10^{13}}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{3.579 imes 10^{20}}{4.014 imes 10^{14}}} \\ &= 2\pi \sqrt{891629.3} \\ &= 5932.7 \text{ s} \approx 1.65 \text{ hr} \end{aligned} $$ যেহেতু পর্যায়কাল $24$ ঘণ্টা নয়, তাই উপগ্রহটি ভূ-স্থির নয়। ভূ-স্থির হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় উচ্চতা $H$ হলে, $$ \begin{aligned} H &= \left( \frac{gR^2T^2}{4\pi^2} \right)^{\frac{1}{3}} - R \\ &= \left( \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2 \times (86400)^2}{4 \times (3.1416)^2} \right)^{\frac{1}{3}} - 6.4 \times 10^6 \\ &= 4.224 imes 10^7 \text{ m} - 6.4 imes 10^6 \text{ m} \\ &= 35840 \text{ km} \end{aligned} $$ সুতরাং, উপগ্রহটিকে আরও $(35840 - 700) \text{ km} = 35140 \text{ km}$ উচ্চতায় স্থাপন করলে তা ভূ-স্থির উপগ্রহে পরিণত হবে।