(ক) ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি অক্ষ বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর বিবেচনা করা হয়, তাদেরকে আয়ত একক ভেক্টর বলে। এগুলো হলো $\hat{i}, \hat{j}$ এবং $\hat{k}$। (খ) আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফলের মান হলো ভেক্টর দুটির মানের গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। এখানে, $\hat{j}$ হলো $y$ অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর, তাই এর মান $|\hat{j}| = 1$। এখন, $$ \begin{aligned} |\hat{j} \times \hat{j}| &= |\hat{j}| |\hat{j}| \sin 0^{\circ} \\ &= 1 \times 1 \times 0 \\ &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু $\hat{j} \times \hat{j}$ এর মান শূন্য, তাই এটি একটি নাল ভেক্টর। (গ) এখানে, লোকটির বেগ, $u = 4 \text{ ms}^{-1}$ বৃষ্টির বেগ, $v = 6 \text{ ms}^{-1}$ বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে হলে লোকটিকে উল্লম্বের সাথে $\theta$ কোণে ছাতা ধরতে হবে, যেখানে, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{u}{v} \\ \Rightarrow \tan \theta &= \frac{4}{6} \\ \Rightarrow \theta &= \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right) \\ \Rightarrow \theta &\approx 33.7^{\circ} \end{aligned} $$ অতএব, বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে হলে লোকটিকে উল্লম্বের সাথে $33.7^{\circ}$ কোণে ছাতা ধরতে হবে। (ঘ) এখানে, লোকটির বেগ, $u = 4 \text{ ms}^{-1}$ প্রশ্নমতে, বৃষ্টির বেগ এবং লোকটির বেগ সমান, অর্থাৎ বৃষ্টির বেগ, $v_1 = 4 \text{ ms}^{-1}$। বৃষ্টির লব্ধি বেগ উল্লম্বের সাথে $\theta_1$ কোণ উৎপন্ন করলে, $$ \begin{aligned} \tan \theta_1 &= \frac{u}{v_1} \\ \Rightarrow \tan \theta_1 &= \frac{4}{4} \\ \Rightarrow \tan \theta_1 &= 1 \\ \Rightarrow \theta_1 &= \tan^{-1}(1) \\ \Rightarrow \theta_1 &= 45^{\circ} \end{aligned} $$ সুতরাং, বৃষ্টির বেগ এবং লোকটির বেগ সমান হলে ছাতাকে উল্লম্বের সাথে $45^{\circ}$ কোণে ধরলে লোকটি ভিজবে না।