(ক) দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপ্রতীপ (reciprocal) হলে, তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। (খ) ধরি, দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। প্রশ্নমতে, ভেক্টর দুটির যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান। অর্থাৎ, $$ |\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}| $$ বর্গ করে পাই, $$ \begin{aligned} |\vec{A}+\vec{B}|^2 &= |\vec{A}-\vec{B}|^2 \\ A^2 + B^2 + 2AB \cos \alpha &= A^2 + B^2 - 2AB \cos \alpha \\ 2AB \cos \alpha &= -2AB \cos \alpha \\ 4AB \cos \alpha &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু $A \neq 0$ এবং $B \neq 0$, তাই, $$ \begin{aligned} \cos \alpha &= 0 \\ \alpha &= 90^\circ \end{aligned} $$ অতএব, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে তাদের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হয়। (গ) এখানে, বাসের বেগ, $$ \begin{aligned} v &= 72 \text{ km/h} \\ &= \frac{72 \times 1000}{3600} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s} \end{aligned} $$ বৃষ্টির বেগ $u = 6 \text{ m/s}$ এবং খাড়া নিচের দিকে পড়ার কারণে বাসের গতির দিকের সাথে বৃষ্টির বেগের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$। বাসচালকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের দিক $\theta$ হলে, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{u \sin \alpha}{v + u \cos \alpha} \\ &= \frac{6 \sin 120^\circ}{20 + 6 \cos 120^\circ} \\ &= \frac{6 \times 0.866}{20 + 6 \times (-0.5)} \\ &= \frac{5.196}{17} \approx 0.3056 \\ \theta &= \tan^{-1}(0.3056) \approx 17^\circ \end{aligned} $$ অতএব, বাসচালক তার চলার অভিমুখের সাথে $17^\circ$ কোণে বৃষ্টি পড়তে দেখবে। (ঘ) বাসচালক বৃষ্টিকে খাড়া নিচের দিকে পড়তে দেখলে, আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হবে। ধরি, বৃষ্টির প্রকৃত বেগ $u$ এবং বাসের গতির সাথে এর কোণ $\alpha$। $$ \begin{aligned} v + u \cos \alpha &= 0 \\ \cos \alpha &= -\frac{v}{u} = -\frac{20}{u} \end{aligned} $$ আবার, আপেক্ষিক বেগের মান $R = 6 \text{ m/s}$ (যেহেতু প্রশ্নে একই বেগে পড়ার কথা বলা হয়েছে)। $$ \begin{aligned} R^2 &= v^2 + u^2 + 2vu \cos \alpha \\ 6^2 &= 20^2 + u^2 + 2(20)u \left(-\frac{20}{u}\right) \\ 36 &= 400 + u^2 - 800 \\ u^2 &= 436 \\ u &= \sqrt{436} \approx 20.88 \text{ m/s} \end{aligned} $$ এখন কোণ নির্ণয় করি, $$ \begin{aligned} \cos \alpha &= -\frac{20}{20.88} \approx -0.9578 \\ \alpha &= \cos^{-1}(-0.9578) \approx 163.3^\circ \end{aligned} $$ অতএব, বৃষ্টির প্রকৃত মান $20.88 \text{ m/s}$ এবং এর দিক বাসের গতির দিকের সাথে $163.3^\circ$ কোণে।