ক.

সমগ্রকের যেসব বৈশিষ্ট্যের মান পরিমাণে পরিবর্তিত হয় এবং মানগুলোকে সংখ্যায় প্রকাশ করা যায়, তাকে সংখ্যাবাচক চলক বলে।

খ.

রাসেল সাহেবের মাসিক গড় আয় 50,000 টাকা- ইহা একটি পরিসংখ্যান।

 

পরিসংখ্যান কোনো একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্যের অনুকূল তথ্যের সমষ্টি নিয়ে আলোচনা করে। পরস্পর সম্পর্কযুক্ত একাধিক তথ্যের সমাহার বা কোনো তথ্যসারির প্রতিনিধিত্বকারী একটি সংখ্যা পরিসংখ্যান হতে পারে। এখানে রাসেল সাহেবের মাসিক গড় আয় 50,000 টাকা দ্বারা উনার সকল মাসের আয়কে প্রকাশ করা হয়েছে। সুতরাং রাসেল সাহেবের মাসিক গড় আয় 50,000 টাকা ইহা একটি পরিসংখ্যান।

গ.

ধরি, ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের চলক, $x_{i} = 15 , 18, 12, 13, 17$

এখানে, $x_{1} = 15 , x_{2} = 18 , x_{3} = 12 , x_{4} = 13$ এবং $x_{5} = 17$

এখন, $\sum_{i=1}^5\left(2 x_i-5\right)^2$

$\begin{aligned} &=\left(2 x_1-5\right)^2+\left(2 x_2-5\right)^2+\left(2 x_3-5\right)^2+\left(2 x_4-5\right)^2+\left(2 x_5-5\right)^2 \\ &=(2 \times 15-5)^2+(2 \times 18-5)^2+(2 \times 12-5)^2+(2 \times 13-5)^2 \\ &+(2 \times 17-5)^2 \\ &=(30-5)^2+(36-5)^2+(24-5)^2+(26-5)^2+(34-5)^2 \\ &=(25)^2+(31)^2+(19)^2+(21)^2+(29)^2 \\ &= 625+961+361+441+841=3229\end{aligned}$

ঘ.

ধরি, ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের চলক, $x_{i} = 15 , 18, 12, 13, 17$

এখানে, $x_{1} = 15 , x_{2} = 18 , x_{3} = 12 , x_{4} = 13$ এবং $x_{5} = 17$

শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টির বর্গ

$\begin{aligned}=\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2 & =\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\right)^2 \\ & =(15+18+12+13+17)^2 \\ & =(75)^2=5625\end{aligned}$

শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের বর্গের সমষ্টি  $=\sum_{i=1}^5 x_i{}^2$

$\begin{aligned} & =x_1{ }^2+x_2{ }^2+x_3{ }^2+x_4{ }^2+x_5{ }^2 \\ & =(15)^2+(18)^2+(12)^2+(13)^2+(17)^2 \\ & =225+324+144+169+289=1151\end{aligned}$

এখানে, $\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2>\sum_{i=1}^5 x_i{}^2$

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে শিক্ষকের উক্তিটি সঠিক ছিল।