(ক) মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে একটি একক ভরের বস্তু স্থাপন করলে সেটি যে মহাকর্ষ বল অনুভব করে, তাকে ঐ বিন্দুর মহাকর্ষীয় প্রাবল্য বা মহাকর্ষ ক্ষেত্র বলে। (খ) মুক্তিবেগ হলো কোনো বস্তুকে পৃথিবী বা অন্য কোনো গ্রহের পৃষ্ঠ থেকে এমন বেগে নিক্ষেপ করা, যাতে বস্তুটি মহাকর্ষীয় প্রভাব কাটিয়ে অসীমে চলে যায় এবং আর ফিরে না আসে। রকেটের ক্ষেত্রে, রকেটকে পৃথিবী থেকে উৎক্ষেপণের সময় জ্বালানি দহনের মাধ্যমে ক্রমাগত বল প্রয়োগ করে গতি বৃদ্ধি করা হয়। রকেটটি একবারে কোনো নির্দিষ্ট বেগে নিক্ষিপ্ত হয় না, বরং ধীরে ধীরে বেগ বৃদ্ধি করে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অতিক্রম করে। যেহেতু রকেটের বেগ শুরুতেই মুক্তিবেগের সমান হয় না এবং এটি ক্রমাগত জ্বালানি ব্যবহারের মাধ্যমে গতিশীল থাকে, তাই রকেটের বেগ সরাসরি মুক্তিবেগ নয়। (গ) এখানে, পৃথিবীর ভর $M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}$, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^{6} \text{ m}$, মহাকর্ষীয় ধ্রুবক $G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ এবং ভূ-স্থির উপগ্রহের পর্যায়কাল $T = 24 \text{ hr} = 86400 \text{ s}$। আমরা জানি, ভূ-স্থির উপগ্রহের উচ্চতা $h$ নির্ণয়ের সূত্র: $$ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}} \\ \Rightarrow T^2 &= 4\pi^2 \frac{(R+h)^3}{GM} \\ \Rightarrow (R+h)^3 &= \frac{GMT^2}{4\pi^2} \\ \Rightarrow R+h &= \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \\ \Rightarrow h &= \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} - R \end{aligned} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} h &= \sqrt[3]{\frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times (86400)^2}{4 \times (3.1416)^2}} - 6.4 \times 10^6 \\ &= 4.224 \times 10^7 - 0.64 \times 10^7 \\ &= 3.584 \times 10^7 \text{ m} \end{aligned} $$ অতএব, উপগ্রহটিকে প্রায় $3.584 \times 10^7 \text{ m}$ উচ্চতায় উৎক্ষেপণ করতে হবে। (ঘ) উপগ্রহের বেগ $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$। প্রাথমিক উচ্চতা $h_1 = 3.584 \times 10^7 \text{ m}$ হলে, $$ \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{\frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6 + 3.584 \times 10^7}} \\ &= \sqrt{\frac{4.0038 \times 10^{14}}{4.224 \times 10^7}} \\ &= 3079.3 \text{ m/s} \end{aligned} $$ উচ্চতা তিনগুণ করা হলে, $h_2 = 3 \times 3.584 \times 10^7 = 1.0752 \times 10^8 \text{ m}$। নতুন বেগ $v_2$ হলে, $$ \begin{aligned} v_2 &= \sqrt{\frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6 + 1.0752 \times 10^8}} \\ &= \sqrt{\frac{4.0038 \times 10^{14}}{1.1392 \times 10^8}} \\ &= 1874.6 \text{ m/s} \end{aligned} $$ বেগের পরিবর্তন $\Delta v = v_2 - v_1 = 1874.6 - 3079.3 = -1204.7 \text{ m/s}$। অর্থাৎ, উচ্চতা তিনগুণ করা হলে উপগ্রহটির বেগ $1204.7 \text{ m/s}$ পরিমাণ কমাতে হবে।