(ক) যে সরল দোলকের দোলনকাল ২ সেকেন্ড, তাকে সেকেন্ড দোলক বলে। (খ) একটি স্প্রিংয়ের ক্ষেত্রে স্প্রিংয়ের প্রসারণ $x$ এবং প্রত্যায়নী বল $F$ এর মধ্যে সম্পর্ক হলো: $$ F = -kx $$ এখানে $k$ হলো স্প্রিংয়ের বল ধ্রুবক। এই বলের ক্রিয়ায় $m$ ভরের বস্তুর ত্বরণ $a$ হলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, $$ F = ma $$ সুতরাং, $$ \begin{aligned} ma &= -kx \\ \Rightarrow a &= -\frac{k}{m}x \end{aligned} $$ সরল দোলন গতির সাধারণ সমীকরণ হলো $a = -\omega^2 x$। উপরের সমীকরণটির সাথে তুলনা করে পাই, $$ \omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$ আমরা জানি, পর্যায়কাল $T = \frac{2\pi}{\omega}$। সুতরাং, $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$ এটিই স্প্রিংয়ের পর্যায়কাল এবং বল ধ্রুবকের মধ্যকার সম্পর্ক। (গ) উদ্দীপক অনুযায়ী সরণের সমীকরণ: $$ x = A \sin(\omega t + \delta) $$ বেগের রাশিমালা নির্ণয়ের জন্য সরণকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি: $$ \begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt} \\ &= \frac{d}{dt} \{A \sin(\omega t + \delta)\} \\ &= A \cos(\omega t + \delta) \cdot \omega \\ &= \omega A \cos(\omega t + \delta) \end{aligned} $$ আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$, তাই $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$। $$ \begin{aligned} v &= \omega A \sqrt{1 - \sin^2(\omega t + \delta)} \\ &= \omega \sqrt{A^2 - A^2 \sin^2(\omega t + \delta)} \end{aligned} $$ যেহেতু $x = A \sin(\omega t + \delta)$, তাই $x^2 = A^2 \sin^2(\omega t + \delta)$। সুতরাং, $$ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} $$ (ঘ) কণাটির সরণ $x$ হলে এর ওপর ক্রিয়াশীল বল $F = m\omega^2 x$। ক্ষুদ্র সরণ $dx$ এর জন্য কৃতকাজ $dW = F dx$। সুতরাং $x$ সরণের জন্য বিভব শক্তি $E_p$ হলো: $$ \begin{aligned} E_p &= \int_0^x F dx \\ &= \int_0^x m\omega^2 x dx \\ &= \frac{1}{2} m\omega^2 x^2 \end{aligned} $$ সরণের সমীকরণ $x = A \sin(\omega t + \delta)$ বসিয়ে পাই, $$ E_p = \frac{1}{2} m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \delta) $$ আবার, গতিশক্তি $E_k = \frac{1}{2} mv^2$। বেগের সমীকরণ $v = \omega A \cos(\omega t + \delta)$ ব্যবহার করে পাই, $$ E_k = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \delta) $$ মোট শক্তি $E = E_p + E_k$: $$ \begin{aligned} E &= \frac{1}{2} m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \delta) + \frac{1}{2} m\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \delta) \\ &= \frac{1}{2} m\omega^2 A^2 \{\sin^2(\omega t + \delta) + \cos^2(\omega t + \delta)\} \\ &= \frac{1}{2} m\omega^2 A^2 \end{aligned} $$ যেহেতু $m$ এবং $\omega$ ধ্রুবক, তাই $E \propto A^2$। অর্থাৎ, কণাটির মোট শক্তি বিস্তারের বর্গের সমানুপাতিক। প্রমাণিত।