এখানে, কণাটির ভর, $m = 0.5 \text{ kg}$ বিস্তার, $A = 0.12 \text{ m}$ প্রদত্ত ব্যবকলনীয় সমীকরণটি হলো: $$ \begin{aligned} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+4 \pi^{2} x&=0 \end{aligned} $$ আমরা জানি, সরল ছন্দিত স্পন্দনের ব্যবকলনীয় সমীকরণ হলো $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=0$। প্রদত্ত সমীকরণটির সাথে তুলনা করে পাই, $$ \begin{aligned} \omega^{2}&=4 \pi^{2} \\ \Rightarrow \omega&=2 \pi \text{ rad/s} \end{aligned} $$ কণাটির সরণের সমীকরণ, $x = A \sin(\omega t + \delta)$। প্রশ্নানুসারে, সাম্যাবস্থা হতে $0.015 \text{ m}$ টেনে ছেড়ে দিলে এটি $0.12 \text{ m}$ বিস্তারে দুলে। অর্থাৎ, $t=0$ সময়ে সরণ $x=0.12 \text{ m}$। $$ \begin{aligned} 0.12 &= 0.12 \sin(2\pi \times 0 + \delta) \\ \Rightarrow \sin \delta &= 1 \\ \Rightarrow \delta &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$ সুতরাং, সরণের সমীকরণটি হলো $x = 0.12 \sin(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = 0.12 \cos(2\pi t)$। বেগের সমীকরণ, $v = \frac{dx}{dt} = -0.12 \times 2\pi \sin(2\pi t) = -0.24\pi \sin(2\pi t)$। যান্ত্রিক শক্তি, $E = E_P + E_K = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{1}{2} m v^2$। $t = 1.125 \text{ s}$ সময়ে: $$ \begin{aligned} x &= 0.12 \cos(2\pi \times 1.125) = 0.12 \cos(2.25\pi) = 0.12 \cos(\frac{\pi}{4}) = 0.12 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.08485 \text{ m} \\ v &= -0.24\pi \sin(2.25\pi) = -0.24\pi \sin(\frac{\pi}{4}) = -0.24\pi \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.5331 \text{ m/s} \\ E_P &= \frac{1}{2} \times 0.5 \times (2\pi)^2 \times (0.08485)^2 \approx 0.07106 \text{ J} \\ E_K &= \frac{1}{2} \times 0.5 \times (-0.5331)^2 \approx 0.07106 \text{ J} \\ E_{total} &= 0.07106 + 0.07106 = 0.14212 \text{ J} \end{aligned} $$ $t = 1.625 \text{ s}$ সময়ে: $$ \begin{aligned} x &= 0.12 \cos(2\pi \times 1.625) = 0.12 \cos(3.25\pi) = 0.12 \cos(\frac{5\pi}{4}) = 0.12 \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx -0.08485 \text{ m} \\ v &= -0.24\pi \sin(3.25\pi) = -0.24\pi \sin(\frac{5\pi}{4}) = -0.24\pi \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx 0.5331 \text{ m/s} \\ E_P &= \frac{1}{2} \times 0.5 \times (2\pi)^2 \times (-0.08485)^2 \approx 0.07106 \text{ J} \\ E_K &= \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.5331)^2 \approx 0.07106 \text{ J} \\ E_{total} &= 0.07106 + 0.07106 = 0.14212 \text{ J} \end{aligned} $$ যেহেতু উভয় সময়েই মোট যান্ত্রিক শক্তি সমান ($0.14212 \text{ J}$), তাই যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা যাচাই হলো।