ক.

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ কে দ্বিপদী চলক বলা হবে যদি উহার সম্ভাবনা ফাংশন, $\mathrm{P}(\mathrm{x})={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2$, ................ n হয়।

খ.

দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড় হয়।

ব্যাখ্যা: দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, $\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np}$

এবং ভেদাঙ্ক, $V(x)=E(x)^2-\{E(x)\}^2=n p q$

যেহেতু ভেদাঙ্ক,

$V(x) =n p q $

$ =n p(1-p)[\because p+q=1] $

$ =n p-n p^2$

$\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x})-\mathrm{np}^2[\because \mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np}]$

যেহেতু $n$ এবং p উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা, সেহেতু $np^2$ অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা।

$\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x})$ - একটি ধনাত্মক সংখ্যা

$\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})<\mathrm{E}(\mathrm{x})$

সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।

গ.

তাই মনে করি, ছেলে হওয়ার ঘটনা সফলতা।

যেহেতু ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা $= 0.6$

$\therefore$ সফলতার সম্ভাবনা, $p = 0.6 $

এবং বিফলতার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 $

এবং চেষ্টার সংখ্যা, $n = 5$ 

ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক $= x$ 

এখানে, যেহেতু $n = 5 < 30$ এবং $p = 0.6 > 0.1$। 

সুতরাং, চলক $x$ দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে।

$\therefore$ দ্বিপদী চলক $x$ এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে,

$P(x) ={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots ., n $

$ ={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots \ldots . . 5$

$\therefore$ কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা

$=P(x=0) $

$ ={ }^5 C_0(0.6)^0(0.4)^{S-0}=0.01024$

সুতরাং, কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা 0.01024.

ঘ.

‘গ’ হতে পাই, $p=0.6, q=0.4$ এবং $n=5$

ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক $= x$

এখানে, যেহেতু $\mathrm{n}=5<30$ এবং $\mathrm{p}=0.6>0.1$ ।

সুতরাং, চলক $x$ দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে।

$\therefore$ দ্বিপদী চলক $x$ এর সন্ডাবনা ফাংশনটি হবে,

$P(x) ={ }^n C_{x p} x^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots  n $

$ ={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots 5$

$\therefore$ বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা

$=P(x \leq 2) $

$=P(x=0)+P(x=1)+p(x=2)$

$={ }^5 C_0(0.0)^0(0.4)^{5-0}+{ }^5 C_1(0.6)^1(0.4)^{5-1}$ $+{ }^5 C_2(0.6)^2(0.4)^{5-2}$

$=0.01024+0.0786+0.2304 $

$=0.31924=31.92 \%$

সুতরাং, ১ জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 31.92 যা 50% এর অনেক কম।

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্য সঠিক ছিল না।