ক.

দ্বিপদী চলক ও এর প্রত্যেকটি মানের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনাসমূহ তালিকায় বা সারণির মাধ্যমে উপস্থাপন করলে যে বিন্যাস পাওয়া যায় তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।

খ.

দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হয় যদি $\sqrt{\beta_1}=0$ হয়।

আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, $\sqrt{\beta_1}=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}}$

বা, $ \frac{q-p}{\sqrt{n p q}}=0 $

বা, $ q-p=0 $

$ \therefore q-p$

অতএব, $p = q$ হলে দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হয়।

গ.

মনে করি, $x$ দ্বিপদী চলক যার পরামিতি n ও p

∴ সম্ভাবনী ফাংশন, $P(x)={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1,2, \ldots ., n$

এবং $p + q = 1$

প্রশ্নমতে, $P(x=0)=2 P(x=1)$

বা, ${ }^n C_0 p^0 q^{n-0}=2 \times{ }^n C_1 p^1 q^{n-1}$
বা, $1.1 . q^n=2 \times n p q^{n-1}$
বা, $q^n=2 n p \times q^n \cdot q^{-1}$
বা, $1=2 \mathrm{np} \times \frac{1}{\mathrm{q}}$
বা, $q=2 n p$. . . . . . . . . . . . . . . . (1)

এবং $2 P(x = 1)=9 P(x=2)$

বা, $2 \times{ }^n C_1 p^1 q^{n-1}=9 \times{ }^n C_2 p^2 q^{n-2}$

বা, $2 npq$ $q^{n-1}=9 \times \frac{n(n-1)}{2} \times p^2 q^{n-1} \cdot q^{-1}$

বা, $2=\frac{9(n-1)}{2} p \times \frac{1}{q}$

বা, $4 q=9(n-1) p$

বা, $ 4 \times 2 n p=9(n-1) p $

বা, $ 8 n=9(n-1)=9 n-9 $

বা, $ 8 n-9 n=-9 $

বা, $-n=-9 $

$ \therefore n=9$

n এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$q=2 \times 9 p=18 p$

বা, $q=18(1-q) ;[\because p=1-q]$
বা, $q=18-18 q$
বা, $q+18 q=18$
বা, $19 q=18$
বা, $q=\frac{18}{19}$

$\therefore \quad p=1-q=1-\frac{18}{19}=\frac{1}{19}$

∴ দ্বিপদী চলক $x$ এর পরামিতি $\mathrm{n}=9$ এবং $\mathrm{p}=\frac{1}{19}$

ঘ.

'গ' হতে পাই, $p=\frac{1}{19}, q=\frac{18}{19}$ এবং $n=9$

বঙ্কিমতা, $\beta_1=\frac{(q-p)^2}{n p q}$

$=\frac{\left(\frac{18}{19}-\frac{1}{19}\right)^2}{9 \times \frac{1}{19} \times \frac{18}{19}}=\frac{0.80055}{0.44875}=1.7839$

যেহেতু, $\beta_1>0$ সেহেতু আকৃতি ধনাত্মক বঙ্কিম।

এবং সূঁচলতাঙ্ক,

$\begin{aligned} \beta_2 & =3+\frac{1-6 \mathrm{pq}}{\mathrm{npq}} \\ & =3+\frac{1-6 \times \frac{1}{19} \times \frac{18}{19}}{9 \times \frac{1}{19} \times \frac{18}{19}} \\ & =3+\frac{1-0.30}{0.45}=3+\frac{0.70}{0.45}=3+1.56=4.56\end{aligned}$

যেহেতু $\beta_2>3$ সুতরাং বিন্যাসটি অতি সূঁচালো।

অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।