(ক) কোনো যন্ত্র থেকে প্রাপ্ত মোট কার্যকর ক্ষমতা এবং ঐ যন্ত্রে প্রদত্ত মোট ক্ষমতার অনুপাতকে ঐ যন্ত্রের কর্মদক্ষতা বলে। (খ) বলের একক নিউটন ($N$) একটি লব্ধ একক। কারণ, নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে বল, $F = ma$। এখানে $m$ হলো ভর (যার একক $kg$) এবং $a$ হলো ত্বরণ (যার একক $m/s^2$)। সুতরাং বলের একক হলো: $$ 1~N = 1~kg \cdot m/s^2 $$ যেহেতু বলের এককটি ভর, দৈর্ঘ্য এবং সময়ের মৌলিক এককগুলোর সমন্বয়ে গঠিত, তাই এটি একটি লব্ধ একক। (গ) প্রথম লাইনের (মিটার গেজ) জন্য ব্যাংকিং কোণ নির্ণয়: এখানে, উচ্চতার পার্থক্য $h_1 = 7.00~cm = 0.07~m$ এবং পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব $d_1 = 0.8~m$। আমরা জানি, $$ \tan \theta_1 = \frac{h_1}{d_1} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} \tan \theta_1 &= \frac{0.07}{0.8} \\ \tan \theta_1 &= 0.0875 \\ \theta_1 &= \tan^{-1}(0.0875) \\ \theta_1 &\approx 5.00^\circ \end{aligned} $$ সুতরাং, প্রথম লাইনের ব্যাংকিং কোণ প্রায় $5.00^\circ$। (ঘ) কোন লাইনে রেলগাড়ি অধিক দ্রুততার সাথে বাঁক নিতে পারবে তা নির্ণয়ের জন্য সর্বোচ্চ অনুমোদিত বেগ $v$ বের করতে হবে। আমরা জানি, $$ \tan \theta = \frac{v^2}{Rg} \Rightarrow v = \sqrt{Rg \tan \theta} $$ এখানে, বাঁকের ব্যাসার্ধ $R = 500~m$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8~m/s^2$। মিটার গেজ লাইনের জন্য: $$ \begin{aligned} \tan \theta_1 &= 0.0875 \\ v_1 &= \sqrt{500 \times 9.8 \times 0.0875} \\ v_1 &= \sqrt{428.75} \\ v_1 &\approx 20.71~m/s \end{aligned} $$ ব্রড গেজ লাইনের জন্য: এখানে, $h_2 = 11.37~cm = 0.1137~m$ এবং $d_2 = 1.3~m$। $$ \begin{aligned} \tan \theta_2 &= \frac{h_2}{d_2} = \frac{0.1137}{1.3} \approx 0.08746 \\ v_2 &= \sqrt{500 \times 9.8 \times 0.08746} \\ v_2 &= \sqrt{428.55} \\ v_2 &\approx 20.70~m/s \end{aligned} $$ পর্যালোচনা: মিটার গেজ লাইনের জন্য সর্বোচ্চ অনুমোদিত বেগ $20.71~m/s$ এবং ব্রড গেজ লাইনের জন্য $20.70~m/s$। গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী, মিটার গেজ লাইনে রেলগাড়ি সামান্য অধিক দ্রুততার সাথে বাঁক নিতে পারবে। তবে বাস্তবে এই বেগের পার্থক্য অত্যন্ত নগণ্য, তাই উভয় লাইনেই প্রায় সমান দ্রুততায় বাঁক নেওয়া সম্ভব।