(ক)
কোনো বস্তুর অবস্থান ভেক্টর এবং ঐ বস্তুর উপর প্রযুক্ত বলের ভেক্টর গুণফলকে টর্ক বলে।
(খ)
দুটি বস্তুর মধ্যে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের ক্ষেত্রে ভরবেগ এবং গতিশক্তি উভয়ই সংরক্ষিত থাকে। যদি বস্তু দুটির ভর সমান হয়, তবে সংঘর্ষের পর তাদের বেগের বিনিময় ঘটে। গাণিতিকভাবে, যদি বস্তু দুটির ভর $m$ এবং আদি বেগ যথাক্রমে $u_1$ ও $u_2$ হয়, তবে সংঘর্ষের পর তাদের শেষ বেগ $v_1$ ও $v_2$ হলে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের শর্তানুসারে:
$$
\begin{aligned}
v_1 &= \frac{(m-m)u_1 + 2mu_2}{m+m} = u_2 \\
v_2 &= \frac{(m-m)u_2 + 2mu_1}{m+m} = u_1
\end{aligned}
$$
অর্থাৎ, বস্তু দুটি তাদের আদি বেগ পরস্পর বিনিময় করে।
(গ)
এখানে, ১ম লাইনের দুটি পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $x = 0.8 \text{ m} = 80 \text{ cm}$ এবং উচ্চতার পার্থক্য, $h = 7.00 \text{ cm}$।
ব্যাংকিং কোণ $\theta$ হলে,
$$
\begin{aligned}
\sin \theta &= \frac{h}{x} \\
\Rightarrow \theta &= \sin^{-1} \left( \frac{7}{80} \right) \\
\Rightarrow \theta &= 5.02^{\circ}
\end{aligned}
$$
অতএব, ১ম লাইনের ব্যাংকিং কোণ $5.02^{\circ}$।
(ঘ)
এখানে, বাঁকের ব্যাসার্ধ $r = 500 \text{ m}$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$।
১ম লাইনের ক্ষেত্রে:
ব্যাংকিং কোণ $\theta_1 = 5.02^{\circ}$। সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ $v_1$ হলে,
$$
\begin{aligned}
\tan \theta_1 &= \frac{v_1^2}{rg} \\
\Rightarrow v_1 &= \sqrt{rg \tan \theta_1} \\
\Rightarrow v_1 &= \sqrt{500 \times 9.8 \times \tan 5.02^{\circ}} \\
\Rightarrow v_1 &= \sqrt{4900 \times 0.08785} \\
\Rightarrow v_1 &= 20.74 \text{ m/s}
\end{aligned}
$$
২য় লাইনের ক্ষেত্রে:
দুটি পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব $x' = 1.3 \text{ m} = 130 \text{ cm}$ এবং উচ্চতার পার্থক্য $h' = 11.37 \text{ cm}$।
ব্যাংকিং কোণ $\theta_2$ হলে,
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_2 &= \frac{h'}{x'} \\
\Rightarrow \theta_2 &= \sin^{-1} \left( \frac{11.37}{130} \right) \approx 5.02^{\circ}
\end{aligned}
$$
২য় লাইনের সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ $v_2$ হলে,
$$
\begin{aligned}
\tan \theta_2 &= \frac{v_2^2}{rg} \\
\Rightarrow v_2 &= \sqrt{rg \tan \theta_2} \\
\Rightarrow v_2 &= \sqrt{500 \times 9.8 \times \tan 5.02^{\circ}} \approx 20.74 \text{ m/s}
\end{aligned}
$$
যেহেতু $v_1 = v_2$, তাই উভয় লাইনেই রেলগাড়ি সমান দ্রুততার সাথে বাঁক নিতে পারবে।