ক.

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x কে তখনই পৈঁসু চলক বলা হয় যখন এটির সম্ভাবনা ফাংশনটি, $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots . \infty$ এবং m > 0 হয়।

খ.

পৈঁসু চলকের সম্ভাবনার সমষ্টি এক ( 1 )।

ব্যাখ্যা : পৈঁসু চলকের সম্ভাবনা ফাংশন, 

$\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}^{\mathrm{x}}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots ., \infty$

এখন, সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল =

$ =\sum_{x=0}^{\infty} P(x)=\sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-m} m^x}{x!} $

$ =e^{-m} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{m^x}{x!} $

$ =e^{-m}\left(\frac{m^0}{0!}+\frac{m^1}{1!}+\frac{m^2}{2!}+\ldots \ldots \infty\right) $

$ =e^{-m}\left(1+\frac{m}{1!}+\frac{m^2}{2!}+\ldots \ldots \infty\right) $

$ =e^{-m} e^m\left[\because 1+\frac{m}{1!}+\frac{m^2}{2!}+\ldots \infty=e^m\right) $

$ =e^{-m+m} $

$ =e^0=1\left[\because e^0=1\right] $

অতএব, পৈঁসু চলকের সম্ভাবনার সমষ্টি 1।

গ.

ধরি, চলক x = শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা।

পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m হলে x এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : 

$ \mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots, \infty $

দেওয়া আছে, $P(x=4)=\frac{1}{4} P(x=3)$
বা, $\frac{e^{-m} m^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{-m} m^3}{3!}$
বা, $\frac{\mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{3!}$
বা, $\frac{\mathrm{m}^3 \cdot \mathrm{m}}{24}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{6}$
বা, $\frac{m}{24}=\frac{1}{24}$
বা, $24 \mathrm{~m}=24$
$\therefore \quad \mathrm{m}=1$

অর্থাৎ, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1।

সুতরাং, পরামিতি, m= 1 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে :

$ \mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \quad \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots ., \infty $

এখন, $ \mathrm{P}(\mathrm{x}=2)=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^2}{2!}=\frac{\mathrm{e}^{-1} \cdot 1}{2}=\frac{0.367879}{2}=0.183939 $

সুতরাং, $ \mathrm{P}(\mathrm{x}=2)=0.183939 $

ঘ.

‘গ’ হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m= 1।

আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, $\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}=1$

যেহেতু $\sqrt{\beta_1}>0$। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম 

এবং পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, $\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{1}=3+1=4$

যেহেতু $\beta_2>3$। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। 

অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।