ক.

যে বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাসের কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল, অর্থাৎ সফলতা ও বিফলতা থাকে, চেষ্টার সংখ্যা নির্দিষ্ট ও সসীম হয় এবং প্রতিটি চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা স্থির থাকে, তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।

খ.

না, কোনো দ্বিপদী বিন্যাসের গড় $5$ এবং পরিমিত ব্যবধান $4$ হতে পারে না।

আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের একটি প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো এর গড় সর্বদা ভেদাঙ্কের চেয়ে বড় হয়।

দেওয়া আছে, গড় $= 5$ এবং পরিমিত ব্যবধান $= 4$।

সুতরাং, ভেদাঙ্ক $=$ পরিমিত ব্যবধান $^2 = 4^2 = 16$।

এখানে দেখা যাচ্ছে, ভেদাঙ্ক ($16$) গড়ের ($5$) চেয়ে বড় হয়ে যাচ্ছে, যা দ্বিপদী বিন্যাসের মৌলিক শর্তের (গড় $>$ ভেদাঙ্ক) সম্পূর্ণ বিরোধী। তাই এই মানগুলো দ্বিপদী বিন্যাসের হতে পারে না।

গ.

উদ্দীপক হতে পাই,

মোট নির্বাচিত ডিমের সংখ্যা বা চেষ্টার সংখ্যা, $\mathrm{n} =$ অর্ধ ডজন $= 6$

ডিম নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা, $\mathrm{p} = 30\% = \frac{30}{100} = 0.30$

সুতরাং, ডিম ভালো হওয়ার বা নষ্ট না হওয়ার সম্ভাবনা, $\mathrm{q} = 1 - \mathrm{p} = 1 - 0.30 = 0.70$

ধরি, নষ্ট ডিমের সংখ্যা নির্দেশক চলক $\mathrm{x}$।

আমরা জানি, দ্বিপদী সম্ভাবনা ফাংশন, $\mathrm{P}(\mathrm{x}) = {}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}}$ ; যেখানে $\mathrm{x} = 0, 1, 2, \ldots, \mathrm{n}$

আমাদের $2$ টি নষ্ট ডিম পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে, অর্থাৎ $\mathrm{x} = 2$।

$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{x}=2) = {}^{6}\mathrm{C}_{2} (0.30)^2 (0.70)^{6-2}$

$= 15 \times 0.09 \times (0.70)^4$

$= 15 \times 0.09 \times 0.2401$

$= 0.324135$

উত্তর: উদ্দীপকের আলোকে $2$ টি নষ্ট ডিম পাওয়ার সম্ভাবনা $0.3241$ (প্রায়)।

ঘ.

'গ' হতে পাই,

চেষ্টার সংখ্যা, $\mathrm{n} = 6$

সফলতার সম্ভাবনা, $\mathrm{p} = 0.30$

বিফলতার সম্ভাবনা, $\mathrm{q} = 0.70$

আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, $\gamma_{1} = \frac{\mathrm{q} - \mathrm{p}}{\sqrt{\mathrm{npq}}}$

প্রথমে আমরা $\mathrm{npq}$ এর মান নির্ণয় করি:

$\mathrm{npq} = 6 \times 0.30 \times 0.70 = 1.26$

এখন বঙ্কিমতাঙ্কের সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:

$\gamma_{1} = \frac{0.70 - 0.30}{\sqrt{1.26}}$

$= \frac{0.40}{1.1225}$

$= 0.3563$ (প্রায়)

যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্কের মান ধনাত্মক (অর্থাৎ $\gamma_{1} > 0$), তাই উদ্দীপকের দ্বিপদী বিন্যাসটির আকৃতি হবে ধনাত্মক বঙ্কিম বা ডানদিকে বঙ্কিম। তাছাড়া আমরা দেখতে পাচ্ছি $\mathrm{p} < \mathrm{q}$ ($0.30 < 0.70$), যা বিন্যাসটির ধনাত্মক বঙ্কিম হওয়ার শর্তকে গাণিতিকভাবে সমর্থন করে।