ক.

সমগ্রক থেকে নির্দিষ্ট নিয়মে প্রতিনিধিত্বকারী একটি ক্ষুদ্র অংশ বা নমুনা নির্বাচন করার বৈজ্ঞানিক প্রক্রিয়াকে নমুনায়ন বা $\text{Sampling} বলে।

খ.

না, নমুনায়ন ত্রুটি সম্পূর্ণরূপে বিলুপ্ত বা শূন্য করা সম্ভব নয়। সমগ্রক থেকে নমুনা নির্বাচন করে যখন কোনো পরিসংখ্যানিক মান (যেমন- গড়) নির্ণয় করা হয়, তখন তা সমগ্রকের প্রকৃত মান থেকে কিছুটা ভিন্ন হতে পারে। নমুনা মান ও সমগ্রক মানের এই পার্থক্যকেই নমুনায়ন ত্রুটি বলে।

নমুনার আকার যত বড় করা হয়, নমুনায়ন ত্রুটি তত কমতে থাকে। কিন্তু যেহেতু নমুনা কখনোই সম্পূর্ণ সমগ্রকের সমান হতে পারে না, তাই এই ত্রুটির পরিমাণ কমানো গেলেও একে পুরোপুরি শূন্য বা বিলুপ্ত করা যায় না। শুধুমাত্র সম্পূর্ণ সমগ্রক নিয়ে শুমারি বা কাজ করলেই কেবল এই ত্রুটি থাকে না।

গ.

উদ্দীপক হতে পাই,

সমগ্রকের উপাদানসমূহ: $3, 4, 5, 6$

সমগ্রকের আকার, $\mathrm{N} = 4$

প্রথমে সমগ্রক গড় ($\mu$) নির্ণয় করি:

$\mu = \frac{\sum \mathrm{X}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}$

$= \frac{3 + 4 + 5 + 6}{4}$

$= \frac{18}{4} = 4.5$

এখন সমগ্রক ভেদাঙ্ক ($\sigma^2$) নির্ণয় করি:

আমরা জানি, সমগ্রক ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum (\mathrm{X}_{\mathrm{i}} - \mu)^2}{\mathrm{N}}$

$= \frac{(3 - 4.5)^2 + (4 - 4.5)^2 + (5 - 4.5)^2 + (6 - 4.5)^2}{4}$

$= \frac{(-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2}{4}$

$= \frac{2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25}{4}$

$= \frac{5}{4} = 1.25$

ঘ.

উদ্দীপকে নাজিম স্যার বলেছেন, পুনঃস্থাপন না করে নমুনা চয়ন করা হলে নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে। অর্থাৎ, আমাদের প্রমাণ করতে হবে $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = \mu$।

'গ' হতে প্রাপ্ত সমগ্রক গড়, $\mu = 4.5$

সমগ্রকের আকার, $\mathrm{N} = 4$

নমুনার আকার, $\mathrm{n} = 2$

পুনঃস্থাপন না করে $\mathrm{N}$ আকারের সমগ্রক হতে $\mathrm{n}$ আকারের মোট সম্ভাব্য নমুনা চয়নের উপায় = ${}^{\mathrm{N}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$

$= {}^{4}\mathrm{C}_{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ টি।

নিচে সম্ভাব্য নমুনাগুলো এবং তাদের নমুনা গড় ($\overline{\mathrm{x}}$) সারণিতে দেখানো হলো:

এখন নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান বা গাণিতিক প্রত্যাশা $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}})$ নির্ণয় করি:

$\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = \frac{\sum \overline{\mathrm{x}}}{{}^{\mathrm{N}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}}$

$= \frac{3.5 + 4.0 + 4.5 + 4.5 + 5.0 + 5.5}{6}$

$= \frac{27}{6}$

$= 4.5$

আমরা দেখতে পাচ্ছি, $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = 4.5$ এবং সমগ্রক গড় $\mu = 4.5$।

অর্থাৎ, $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = \mu$

যেহেতু নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান সমগ্রক গড়ের সমান হয়েছে, তাই বলা যায় নমুনা গড় হলো সমগ্রক গড়ের একটি নিরপেক্ষ নিরূপক।

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে নাজিম স্যারের মন্তব্যটি গাণিতিকভাবে সম্পূর্ণ যথার্থ।