(ক) ধরি, y = sin(e^(√(1-x))) $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \cos(e^{\sqrt{1-x}}) \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{1-x}}) \\ &= \cos(e^{\sqrt{1-x}}) \cdot e^{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x}) \\ &= \cos(e^{\sqrt{1-x}}) \cdot e^{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) \\ &= -\frac{e^{\sqrt{1-x}} \cos(e^{\sqrt{1-x}})}{2\sqrt{1-x}} \end{aligned}$$ (খ) দেওয়া আছে, g(x) = (x - 5) / (3x + 1) এবং h(x) = x² + 1 $$\begin{aligned} (h \circ g)(1) &= h(g(1)) \\ &= h(\frac{1 - 5}{3(1) + 1}) = h(\frac{-4}{4}) = h(-1) \\ &= (-1)^2 + 1 = 2 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (g \circ h)(2) &= g(h(2)) \\ &= g(2^2 + 1) = g(5) \\ &= \frac{5 - 5}{3(5) + 1} = 0 \end{aligned}$$ সুতরাং, (h ∘ g)(1) - (g ∘ h)(2) = 2 - 0 = 2 দেখানো হলো। (গ) দেওয়া আছে, g(x) = (x - 5) / (3x + 1) এক-এক যাচাই: ধরি, g(x₁) = g(x₂) $$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{x_1 - 5}{3x_1 + 1} &= \frac{x_2 - 5}{3x_2 + 1} \\ \Rightarrow (x_1 - 5)(3x_2 + 1) &= (x_2 - 5)(3x_1 + 1) \\ \Rightarrow 3x_1x_2 + x_1 - 15x_2 - 5 &= 3x_1x_2 + x_2 - 15x_1 - 5 \\ \Rightarrow 16x_1 &= 16x_2 \Rightarrow x_1 = x_2 \end{aligned}$$ সুতরাং, g(x) এক-এক। সার্বিক যাচাই: ধরি, y = (x - 5) / (3x + 1) $$\begin{aligned} \Rightarrow 3xy + y &= x - 5 \\ \Rightarrow x(3y - 1) &= -y - 5 \\ \Rightarrow x &= \frac{y + 5}{1 - 3y} \end{aligned}$$ যেহেতু y এর প্রতিটি মানের জন্য x এর বাস্তব মান পাওয়া যায়, তাই g(x) সার্বিক। বিপরীত ফাংশন: $$\begin{aligned} g^{-1}(y) &= x = \frac{y + 5}{1 - 3y} \\ \therefore g^{-1}(x) &= \frac{x + 5}{1 - 3x} \end{aligned}$$