(ক) দেওয়া আছে, $f(x) = x^2 + 2x + 3$ এবং $A = \{-4, 2\}$। $A$ সেটের উপাদানগুলোর জন্য $f$ এর মান নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} f(-4) &= (-4)^2 + 2(-4) + 3 = 16 - 8 + 3 = 11 \\ f(2) &= (2)^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 \end{aligned} $$ সুতরাং, $f$ এর রেঞ্জ $= \{11\}$। (খ) দেওয়া আছে, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ এবং $f(x) = x^2 + 2x + 3$। ম্যাট্রিক্স ফাংশন $f(D) = D^2 + 2D + 3I$। প্রথমে $D^2$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} D^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1+0+0 & 0+0-1 & -1+0-3 \\ 5+10+0 & 0+4+0 & -5+0+0 \\ 0+5+0 & 0+2+3 & 0+0+9 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -4 \\ 15 & 4 & -5 \\ 5 & 5 & 9 \end{pmatrix} \end{aligned} $$ এখন, $f(D) = D^2 + 2D + 3I$: $$ \begin{aligned} f(D) &= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -4 \\ 15 & 4 & -5 \\ 5 & 5 & 9 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -4 \\ 15 & 4 & -5 \\ 5 & 5 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 10 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 & -1 & -6 \\ 25 & 11 & -5 \\ 5 & 7 & 18 \end{pmatrix} \end{aligned} $$ (গ) দেওয়া আছে, $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$। এক-এক যাচাই: ধরি, $x_1, x_2 \in B$ এবং $g(x_1) = g(x_2)$। $$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad \frac{x_1 - 2}{x_1 - 3} &= \frac{x_2 - 2}{x_2 - 3} \\ \Rightarrow\quad (x_1 - 2)(x_2 - 3) &= (x_2 - 2)(x_1 - 3) \\ \Rightarrow\quad x_1x_2 - 3x_1 - 2x_2 + 6 &= x_1x_2 - 3x_2 - 2x_1 + 6 \\ \Rightarrow\quad -3x_1 - 2x_2 &= -3x_2 - 2x_1 \\ \Rightarrow\quad x_1 &= x_2 \end{aligned} $$ সুতরাং, $g(x)$ এক-এক। সার্বিক যাচাই: ধরি, $y = \frac{x-2}{x-3}$। $$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad y(x-3) &= x-2 \\ \Rightarrow\quad xy - 3y &= x - 2 \\ \Rightarrow\quad x(y-1) &= 3y - 2 \\ \Rightarrow\quad x &= \frac{3y - 2}{y - 1} \end{aligned} $$ যেহেতু $y=1$ এর জন্য $x$ সংজ্ঞায়িত নয়, তাই রেঞ্জ $= \mathbb{R} - \{1\} = C$। যেহেতু রেঞ্জ কো-ডোমেনের সমান, তাই $g(x)$ সার্বিক। যেহেতু ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক, তাই এটি বিপরীতযোগ্য।