(ক) দেওয়া আছে, $p(x)=2x-7$ এবং $q(x)=x^2+5$। প্রথমে $p(3)$ এর মান নির্ণয় করি: $$p(3) = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1$$ এখন, $q(p(3)) = q(-1)$ এর মান নির্ণয় করি: $$q(-1) = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6$$ নির্ণেয় মান $6$। (খ) উদ্দীপক অনুযায়ী, দৈর্ঘ্য পরিবর্তন $= 4x - 7$ এবং তাপমাত্রার পরিবর্তন $= 2x - 4$। সুতরাং, ফাংশনটি হলো: $$f(x) = \frac{4x - 7}{2x - 4}$$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার শর্ত হলো হর শূন্য হতে পারবে না, অর্থাৎ $2x - 4 \neq 0$ বা $x \neq 2$। যেহেতু সময় $x$ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x \geq 0$। সুতরাং, $f(x)$ এর ডোমেন $= \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0, x \neq 2\}$। ফাংশনটি এক-এক হওয়ার শর্ত হলো, যদি $f(x_1) = f(x_2)$ হয়, তবে $x_1 = x_2$ হতে হবে। $$\begin{aligned} \frac{4x_1 - 7}{2x_1 - 4} &= \frac{4x_2 - 7}{2x_2 - 4} \\ \Rightarrow (4x_1 - 7)(2x_2 - 4) &= (4x_2 - 7)(2x_1 - 4) \\ \Rightarrow 8x_1x_2 - 16x_1 - 14x_2 + 28 &= 8x_1x_2 - 16x_2 - 14x_1 + 28 \\ \Rightarrow -16x_1 - 14x_2 &= -16x_2 - 14x_1 \\ \Rightarrow 2x_2 &= 2x_1 \\ \Rightarrow x_1 &= x_2 \end{aligned}$$ যেহেতু $f(x_1) = f(x_2)$ থেকে $x_1 = x_2$ পাওয়া যায়, তাই ফাংশনটি এক-এক। (গ) দেওয়া আছে, $f(g(x)) = \frac{x-3}{2x+1}$। আমরা জানি, $f(x) = \frac{4x-7}{2x-4}$। সুতরাং, $$\frac{4g(x) - 7}{2g(x) - 4} = \frac{x-3}{2x+1}$$ আড়গুণন করে পাই: $$\begin{aligned} (4g(x) - 7)(2x + 1) &= (x - 3)(2g(x) - 4) \\ \Rightarrow 8xg(x) + 4g(x) - 14x - 7 &= 2xg(x) - 4x - 6g(x) + 12 \\ \Rightarrow 8xg(x) + 4g(x) - 2xg(x) + 6g(x) &= 14x - 4x + 12 + 7 \\ \Rightarrow 6xg(x) + 10g(x) &= 10x + 19 \\ \Rightarrow g(x)(6x + 10) &= 10x + 19 \\ \Rightarrow g(x) &= \frac{10x + 19}{6x + 10} \end{aligned}$$ ধরি, $y = g(x) = \frac{10x + 19}{6x + 10}$। $$\begin{aligned} \Rightarrow y(6x + 10) &= 10x + 19 \\ \Rightarrow 6xy + 10y &= 10x + 19 \\ \Rightarrow 6xy - 10x &= 19 - 10y \\ \Rightarrow x(6y - 10) &= 19 - 10y \\ \Rightarrow x &= \frac{19 - 10y}{6y - 10} \end{aligned}$$ যেহেতু $x$ এর মান বাস্তব হতে হবে, তাই হর শূন্য হতে পারবে না: $$6y - 10 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{10}{6} \Rightarrow y \neq \frac{5}{3}$$ সুতরাং, $g(x)$ এর রেঞ্জ $= \mathbb{R} \setminus \{\frac{5}{3}\}$।