(ক) প্রদত্ত সমীকরণটি হলো $3x^2 + 2x + 1 = 0$। এখানে $a=3, b=2, c=1$। সমীকরণটির নিশ্চায়ক বা পৃথায়ক $D = b^2 - 4ac$। $$\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 \\ &= 4 - 12 \\ &= -8 \end{aligned}$$ যেহেতু $D < 0$, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল বা অবাস্তব। (খ) প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ $10x^2 - 8x + 1 = 0$। ধরি, এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$। $$\begin{aligned} \alpha + \beta &= -\frac{-8}{10} = \frac{4}{5} \\ \alpha \beta &= \frac{1}{10} \end{aligned}$$ মূলদ্বয়ের অন্তরফলের মান: $$\begin{aligned} |\alpha - \beta| &= \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} \\ &= \sqrt{(\frac{4}{5})^2 - 4 \cdot \frac{1}{10}} \\ &= \sqrt{\frac{16}{25} - \frac{2}{5}} \\ &= \sqrt{\frac{16 - 10}{25}} = \frac{\sqrt{6}}{5} \end{aligned}$$ নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় হলো $\alpha + \beta = \frac{4}{5}$ এবং $|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{6}}{5}$। মূলদ্বয়ের যোগফল $= \frac{4}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} = \frac{4 + \sqrt{6}}{5}$ মূলদ্বয়ের গুণফল $= \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{6}}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{25}$ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$। $$\begin{aligned} x^2 - (\frac{4 + \sqrt{6}}{5})x + \frac{4\sqrt{6}}{25} &= 0 \\ \Rightarrow 25x^2 - 5(4 + \sqrt{6})x + 4\sqrt{6} &= 0 \\ \Rightarrow 25x^2 - (20 + 5\sqrt{6})x + 4\sqrt{6} &= 0 \end{aligned}$$ (গ) প্রদত্ত ত্রিঘাত সমীকরণ $2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0$। এর মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে, $$\begin{aligned} \alpha + \beta + \gamma &= -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} \\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= \frac{4}{2} = 2 \\ \alpha\beta\gamma &= -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$ আমরা জানি, $(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = \Sigma \alpha^2\beta + 3\alpha\beta\gamma$। $$\begin{aligned} \Sigma \alpha^2\beta &= (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma \\ &= (\frac{3}{2})(2) - 3(\frac{1}{2}) \\ &= 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \end{aligned}$$