(ক) দেওয়া আছে, $S = \{x \in \mathbb{Q} : x > 0$ এবং $x^2 < 5\}$। যেহেতু $x > 0$ এবং $x^2 < 5$, তাই $0 < x < \sqrt{5}$। এখানে $S$ সেটের প্রতিটি উপাদান $0$ থেকে বড় এবং $\sqrt{5}$ থেকে ছোট। যেহেতু $S$ সেটের উপাদানগুলো $0$ এর চেয়ে বড়, তাই এটি অশূন্য। আবার, $S$ সেটের প্রতিটি উপাদান $\sqrt{5}$ এর চেয়ে ছোট, তাই $\sqrt{5}$ হলো $S$ এর একটি ঊর্ধ্বসীমা। সুতরাং, $S$ একটি অশূন্য ঊর্ধ্বসীমিত সেট। (খ) দেওয়া আছে, $S_1 = \{x \in \mathbb{R} : 3x^2 - 4x + 1 < 0\}$। অসমতাটি সমাধান করি: $$ \begin{aligned} 3x^2 - 4x + 1 &< 0 \\ \Rightarrow\quad 3x^2 - 3x - x + 1 &< 0 \\ \Rightarrow\quad 3x(x - 1) - 1(x - 1) &< 0 \\ \Rightarrow\quad (3x - 1)(x - 1) &< 0 \end{aligned} $$ এখানে ক্রিটিক্যাল পয়েন্টগুলো হলো $x = \frac{1}{3}$ এবং $x = 1$। অসমতাটি সত্য হবে যখন $x$ এর মান এই দুই বিন্দুর মাঝে থাকবে। অর্থাৎ, $\frac{1}{3} < x < 1$। সুতরাং, $S_1 = \{x \in \mathbb{R} : \frac{1}{3} < x < 1\}$। যেহেতু $S_1$ এর ঊর্ধ্বসীমাগুলোর সেট হলো $[1, \infty)$, তাই এর লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা বা সুপ্রিমা হলো $1$। অর্থাৎ, $Sup S_1 = 1$। (গ) বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতা ধর্ম অনুযায়ী, প্রতিটি অশূন্য ঊর্ধ্বসীমিত সেটের একটি লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা (Supremum) অবশ্যই বাস্তব সংখ্যার সেটে ($\mathbb{R}$) বিদ্যমান থাকতে হবে। দেওয়া আছে, $S = \{x \in \mathbb{Q} : x > 0$ এবং $x^2 < 5\}$। এখানে $S$ সেটের ঊর্ধ্বসীমাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মান হলো $\sqrt{5}$। কিন্তু $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা, যা মূলদ সংখ্যার সেট $\mathbb{Q}$ এর অন্তর্ভুক্ত নয়। যেহেতু $S$ এর লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা মূলদ সংখ্যার সেটে বিদ্যমান নেই, তাই মূলদ সংখ্যার সেটের ক্ষেত্রে সম্পূর্ণতা ধর্ম খাটে না।