(ক) সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণটি হলো: $$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$ (খ) সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণার সরণের সমীকরণ, $$ x = A \sin(\omega t + \delta) $$ এখানে, $A$ বিস্তার এবং $\omega$ কৌণিক কম্পাঙ্ক। সরণের সাপেক্ষে বেগের সমীকরণ হলো, $$ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} $$ সর্বোচ্চ বেগ: সাম্যাবস্থায় অর্থাৎ $x = 0$ অবস্থানে বেগ সর্বোচ্চ হয়। $$ v_{\text{max}} = \omega \sqrt{A^2 - 0^2} = \omega A $$ সর্বনিম্ন বেগ: প্রান্তবিন্দুতে অর্থাৎ $x = \pm A$ অবস্থানে বেগ সর্বনিম্ন হয়। $$ v_{\text{min}} = \omega \sqrt{A^2 - A^2} = 0 $$ (গ) সরল দোলকের দোলনকালের রাশিমালা হলো, $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$ এখানে, কার্যকরী দৈর্ঘ্য, $L = 75 \text{ cm} = 0.75 \text{ m}$ অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} T &= 2 \times 3.1416 \times \sqrt{\frac{0.75}{9.8}} \\ &= 6.2832 \times \sqrt{0.07653} \\ &= 6.2832 \times 0.2766 \\ &= 1.738 \text{ s} \end{aligned} $$ অতএব, দোলকটির দোলনকাল $1.738 \text{ s}$। (ঘ) পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_h$ এবং খনির গভীরে $g_d$ হলে, $$ \begin{aligned} g_h &= g \left( 1 - \frac{2h}{R} \right) g_h = g \frac{R^2}{(R+h)^2} \text{)} \\ g_d &= g \left( 1 - \frac{d}{R} \right) \end{aligned} $$ এখানে $h = d = 5 \text{ km} = 5000 \text{ m}$ এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $R \approx 6.4 \times 10^6 \text{ m}$। পাহাড়ের চূড়ায়, $$ \begin{aligned} g_h &= 9.8 \times \left( \frac{6.4 \times 10^6}{6.4 \times 10^6 + 5000} \right)^2 \\ &\approx 9.7846 \text{ ms}^{-2} \end{aligned} $$ খনির গভীরে, $$ \begin{aligned} g_d &= 9.8 \times \left( 1 - \frac{5000}{6.4 \times 10^6} \right) \\ &= 9.8 \times (1 - 0.00078125) \\ &= 9.7923 \text{ ms}^{-2} \end{aligned} $$ যেহেতু $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$, তাই যেখানে $g$ এর মান কম, সেখানে দোলনকাল $T$ বেশি হবে। এখানে $g_h < g_d$, তাই পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল $T_h$ বেশি হবে। যেহেতু পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল বেশি, তাই সেখানে দোলকটি ধীরে চলবে।