(ক) যে তীব্রতার শব্দ মানুষের কানে শ্রুতিমধুর অনুভূতির সৃষ্টি করে এবং যার কম্পাঙ্ক $1000 \text{ Hz}$ ও তীব্রতা $10^{-12} \text{ W/m}^2$, তাকে প্রমাণ তীব্রতা বলে। (খ) দেওয়া আছে, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 45^\circ$। বামপক্ষ, $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} &= |\vec{A}| |\vec{B}| \cos 45^\circ \\ &= |\vec{A}| |\vec{B}| \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$ ডানপক্ষ, $$ \begin{aligned} |\vec{A} \times \vec{B}| &= |\vec{A}| |\vec{B}| \sin 45^\circ \\ &= |\vec{A}| |\vec{B}| \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$ যেহেতু বামপক্ষ ও ডানপক্ষ উভয়ই $|\vec{A}| |\vec{B}| \frac{1}{\sqrt{2}}$ এর সমান, তাই দেখানো হলো যে, $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$। (গ) এখানে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ এবং উপগ্রহের উচ্চতা $h = 2 \times 10^6 \text{ m}$। উপগ্রহে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_h$ হলে, $$ \begin{aligned} g_h &= g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 \\ &= 9.8 \times \left( \frac{6.4 \times 10^6}{6.4 \times 10^6 + 2 \times 10^6} \right)^2 \\ &= 9.8 \times \left( \frac{6.4}{8.4} \right)^2 \\ &= 9.8 \times (0.7619)^2 \\ &= 9.8 \times 0.5805 \\ &= 5.689 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ সুতরাং, কৃত্রিম উপগ্রহে অভিকর্ষজ ত্বরণ প্রায় $5.69 \text{ m/s}^2$। (ঘ) সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল $T = 2 \text{ s}$। উপগ্রহে দোলনকাল $T_1$ হলে, $$ \begin{aligned} \frac{T_1}{T} &= \sqrt{\frac{g}{g_h}} \\ \Rightarrow T_1 &= 2 \times \sqrt{\frac{9.8}{5.689}} \\ &= 2 \times 1.313 \\ &= 2.626 \text{ s} \end{aligned} $$ খনিতে $h' = 3 \times 10^6 \text{ m}$ গভীরে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_d$ হলে, $$ \begin{aligned} g_d &= g \left( 1 - \frac{h'}{R} \right) \\ &= 9.8 \times \left( 1 - \frac{3 \times 10^6}{6.4 \times 10^6} \right) \\ &= 9.8 \times (1 - 0.46875) \\ &= 9.8 \times 0.53125 \\ &= 5.206 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ খনিতে দোলনকাল $T_2$ হলে, $$ \begin{aligned} \frac{T_2}{T} &= \sqrt{\frac{g}{g_d}} \\ \Rightarrow T_2 &= 2 \times \sqrt{\frac{9.8}{5.206}} \\ &= 2 \times 1.372 \\ &= 2.744 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $T_2 > T_1$, তাই খনিতে দোলকটি অধিক ধীরে চলবে।