(ক) $1000 \text{ Hz}$ কম্পাঙ্কবিশিষ্ট শব্দের যে সর্বনিম্ন তীব্রতা মানুষ শুনতে পায়, তাকে প্রমাণ তীব্রতা বলে। এর মান $10^{-12} \text{ W/m}^2$। (খ) দেওয়া আছে, মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 45^\circ$। ডট গুণফল: $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} &= AB \cos 45^\circ = \frac{AB}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$ ক্রস গুণফলের মান: $$ \begin{aligned} |\vec{A} \times \vec{B}| &= AB \sin 45^\circ = \frac{AB}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$ সুতরাং, $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$। (গ) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ এবং উচ্চতা $h = 2 \times 10^6 \text{ m}$। কৃত্রিম উপগ্রহে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_h$ হলে, $$ \begin{aligned} g_h &= g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2\\ &= 9.8 \times \left( \frac{6.4 \times 10^6}{6.4 \times 10^6 + 2 \times 10^6} \right)^2\\ &= 9.8 \times \left( \frac{6.4}{8.4} \right)^2\\ &= 9.8 \times 0.5809\\ &= 5.693 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ কৃত্রিম উপগ্রহে অভিকর্ষজ ত্বরণ $5.693 \text{ m/s}^2$। (ঘ) খনির গভীরে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$। এখানে গভীরতা $d = 3 \times 10^6 \text{ m}$। $$ \begin{aligned} g_d &= 9.8 \times \left( 1 - \frac{3 \times 10^6}{6.4 \times 10^6} \right)\\ &= 9.8 \times (1 - 0.46875)\\ &= 9.8 \times 0.53125\\ &= 5.206 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ দোলনকাল $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$। যেহেতু $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$, তাই যেখানে $g$ এর মান কম, সেখানে দোলনকাল বেশি হবে। এখানে $g_d (5.206) < g_h (5.693)$। যেহেতু খনিতে অভিকর্ষজ ত্বরণ কম, তাই খনিতে দোলকটির দোলনকাল বেশি হবে এবং দোলকটি অধিক ধীরে চলবে।