(ক) কোনো স্প্রিংকে এর সাম্যাবস্থা থেকে একক দূরত্ব প্রসারিত বা সংকুচিত করতে যে পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হয়, তাকে স্প্রিং ধ্রুবক বলে। (খ) গ্রীষ্মকালে তাপমাত্রার পরিবর্তনের ফলে দোলক ঘড়ির দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য $(L)$ বৃদ্ধি পায়। সরল দোলকের দোলনকালের সমীকরণ হলো, $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$ এখানে, $g$ একটি নির্দিষ্ট স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ। যেহেতু $T \propto \sqrt{L}$, তাই কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ বৃদ্ধি পেলে দোলনকাল $T$-এর মানও বৃদ্ধি পায়। দোলনকাল বেড়ে যাওয়ার অর্থ হলো দোলকটি একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করতে স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি সময় নিচ্ছে, যার ফলে ঘড়িটি ধীরে চলে। (গ) এখানে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল, $T = 2 \text{ s}$ ১ দিনে (৮৬৪০০ সেকেন্ডে) হারানো সময়, $n = 30 \text{ s}$ পাহাড়ের চূড়ায় দোলকটি ৮৬৪০০ সেকেন্ডে $(86400 - 30) = 86370$ সেকেন্ড সময় দেয়। সুতরাং, পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল $T'$ হলে, $$ \begin{aligned} T' &= T \times \frac{86400}{86400 - n} \\ &= 2 \times \frac{86400}{86370} \\ &= 2.000695 \text{ s} \end{aligned} $$ পাহাড়ের উচ্চতা $h$ হলে আমরা জানি, $$ \begin{aligned} T' &= T \sqrt{1 + \frac{h}{R}} \\ \Rightarrow \frac{T'}{T} &= 1 + \frac{h}{R} \\ \Rightarrow h &= R \left( \frac{T'}{T} - 1 \right) \end{aligned} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} h &= 6.4 \times 10^6 \times \left( \frac{2.000695}{2} - 1 \right) \\ &= 6.4 \times 10^6 \times 0.0003475 \\ &= 2224 \text{ m} \approx 2.224 \text{ km} \end{aligned} $$ পাহাড়ের উচ্চতা প্রায় $2.224 \text{ km}$। (ঘ) পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g'$ হলে, $$ \begin{aligned} g' &= g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 \\ &= 9.8 \times \left( \frac{6400}{6400 + 2.224} \right)^2 \\ &= 9.7932 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ দোলনকাল অপরিবর্তিত রাখতে হলে $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g'}}$ হতে হবে। অর্থাৎ, $$ \begin{aligned} \frac{L}{g} &= \frac{L'}{g'} \\ \Rightarrow L' &= L \times \frac{g'}{g} \end{aligned} $$ যেহেতু $L = \frac{gT^2}{4\pi^2} = \frac{9.8 \times 2^2}{4\pi^2} \approx 0.994 \text{ m}$, $$ \begin{aligned} L' &= 0.994 \times \frac{9.7932}{9.8} \\ &= 0.99331 \text{ m} \end{aligned} $$ প্রয়োজনীয় দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন, $$ \begin{aligned} \Delta L &= L - L' \\ &= 0.994 - 0.99331 \\ &= 0.00069 \text{ m} = 0.069 \text{ cm} \end{aligned} $$ পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল অপরিবর্তিত রাখতে দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য প্রায় $0.069 \text{ cm}$ কমাতে হবে।