(ক) সরল দোলন গতির ব্যবকলনী সমীকরণটি হলো: $$ \begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x &= 0 \end{aligned} $$ এখানে, $x$ হলো সরণ, $t$ হলো সময় এবং $\omega$ হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক। এই সমীকরণের সমাধান হলো: $$ \begin{aligned} x &= A \sin(\omega t + \delta) \end{aligned} $$ যেখানে, $A$ হলো বিস্তার এবং $\delta$ হলো দশা ধ্রুবক। (খ) সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কোনো কণার গতিশক্তি $E_k$ সরণ $x$-এর ওপর নির্ভর করে। গতিশক্তির সমীকরণটি হলো: $$ \begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) \end{aligned} $$ যখন কণাটি বিস্তারের প্রান্তে থাকে, অর্থাৎ $x = \pm A$ হয়, তখন: $$ \begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - A^2) = 0 \end{aligned} $$ সুতরাং, কণাটি যখন তার গতির বিস্তারের প্রান্তে অবস্থান করে, তখন তার গতিশক্তি সর্বনিম্ন (শূন্য) হয়। (গ) দেওয়া আছে, ঘড়িটির দোলনকাল $T = 2 \text{ s}$। ঘড়িটি $15 \text{ s}$ দ্রুত চলে, অর্থাৎ এটি একদিনে (৮৬৪০০ সেকেন্ডে) ৮৬৪০০ + ১৫ সেকেন্ড সময় নির্দেশ করে। আমরা জানি, দোলনকাল $T$ হলে, প্রকৃত সময় $T_0$ এবং ঘড়ির সময় $T$ এর সম্পর্ক: $$ \begin{aligned} T' &= T \left( 1 + \frac{15}{86400} \right) \end{aligned} $$ এখানে, ঘড়িটি দ্রুত চলায় এর দোলনকাল কমে গেছে। পরিবর্তিত দোলনকাল $T'$ হবে: $$ \begin{aligned} T' &= T \left( \frac{86400}{86400 + 15} \right) \\ &= 2 \times \left( \frac{86400}{86415} \right) \\ &\approx 1.99965 \text{ s} \end{aligned} $$ (ঘ) পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g' = 9.7 \text{ ms}^{-2}$ এবং ভূপৃষ্ঠে $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$। দোলনকাল $T = 2 \text{ s}$ অপরিবর্তিত রাখতে হলে কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L$ পরিবর্তন করতে হবে। আমরা জানি, $$ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned} $$ ভূপৃষ্ঠে কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$ এবং পাহাড়ের চূড়ায় পরিবর্তিত কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L' = \frac{T^2 g'}{4\pi^2}$। দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন: $$ \begin{aligned} \Delta L &= L - L' = \frac{T^2}{4\pi^2} (g - g') \\ &= \frac{2^2}{4 \times (3.1416)^2} \times (9.8 - 9.7) \\ &= \frac{4}{39.478} \times 0.1 \\ &\approx 0.01013 \text{ m} = 1.013 \text{ cm} \end{aligned} $$ অর্থাৎ, দোলনকাল একই রাখার জন্য দোলকটির কার্যকরী দৈর্ঘ্য প্রায় $1.013 \text{ cm}$ কমাতে হবে।