(ক) কোনো কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল যদি নিজ অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণায়মান পৃথিবীর আবর্তনকালের সমান হয়, তবে ঐ উপগ্রহকে ভূস্থির উপগ্রহ বলে। (খ) আমরা জানি, অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = \frac{GM}{R^2}$। যেহেতু পৃথিবীর ভর $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ (যেখানে $\rho$ পৃথিবীর ঘনত্ব), তাই অভিকর্ষজ ত্বরণের সমীকরণটি দাঁড়ায়, $$ \begin{aligned} g &= \frac{G \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}{R^2} \\ &= \frac{4}{3} G \pi R \rho \end{aligned} $$ এখানে $G$, $\pi$ এবং $R$ ধ্রুবক হলে, $g \propto \rho$। অর্থাৎ, অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর ঘনত্বের সমানুপাতিক। সুতরাং, পৃথিবীর ঘনত্বের পরিবর্তন হলে অভিকর্ষজ ত্বরণের মানও পরিবর্তিত হবে। (গ) দেওয়া আছে, পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$ $h$ উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_h = 0.8g$ পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ আমরা জানি, $$ \begin{aligned} \frac{g_h}{g} &= \frac{R^2}{(R+h)^2} \\ \Rightarrow \frac{0.8g}{g} &= \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 \\ \Rightarrow 0.8 &= \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 \\ \Rightarrow \frac{R}{R+h} &= \sqrt{0.8} \\ \Rightarrow R+h &= \frac{R}{\sqrt{0.8}} \\ \Rightarrow h &= R \left( \frac{1}{\sqrt{0.8}} - 1 \right) \end{aligned} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} h &= 6400 \left( \frac{1}{0.8944} - 1 \right) \text{ km} \\ &= 6400 \times (1.118 - 1) \text{ km} \\ &= 6400 \times 0.118 \text{ km} \\ &= 755.42 \text{ km} \end{aligned} $$ অতএব, পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে $755.42 \text{ km}$ উচ্চতায় উপগ্রহের ওজন পৃথিবী পৃষ্ঠের ওজনের $80\%$ হবে। (ঘ) দেওয়া আছে, পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}$ পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ উপগ্রহের উচ্চতা, $h = 700 \text{ km} = 7 \times 10^5 \text{ m}$ মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ উপগ্রহের পর্যায়কাল $T$ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো, $$ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}} \end{aligned} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} T &= 2 \times 3.1416 \times \sqrt{\frac{(6.4 \times 10^6 + 7 \times 10^5)^3}{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \\ &= 6.2832 \times \sqrt{\frac{(7.1 \times 10^6)^3}{4.0038 \times 10^{14}}} \\ &= 6.2832 \times \sqrt{\frac{3.57911 imes 10^{20}}{4.0038 \times 10^{14}}} \\ &= 6.2832 \times \sqrt{893928.27} \\ &= 6.2832 \times 945.48 \\ &= 5940.63 \text{ s} \end{aligned} $$ ঘণ্টায় রূপান্তর করলে, $$ \begin{aligned} T &= \frac{5940.63}{3600} \text{ hr} \approx 1.65 \text{ hr} \end{aligned} $$ চাঁদের পর্যায়কাল প্রায় ২৭ দিন, ফলে চাঁদকে দিনে একবার দেখা যায়। কিন্তু উদ্দীপকের উপগ্রহটি মাত্র $1.65$ ঘণ্টায় পৃথিবীকে একবার প্রদক্ষিণ করে, ফলে দিনে একাধিকবার একে দেখা যাবে। সুতরাং, উদ্দীপকের উপগ্রহটি চাঁদের মতো উপগ্রহ হবে না।