প্রদত্ত চিত্র থেকে বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক হলো:

$A = (2, -3, 4)$

$B = (1, 2, -5)$

$C = (3, 3, -2)$

ভেক্টরগুলোর মান নির্ণয় করি:

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= B - A = (1-2)\hat{i} + (2-(-3))\hat{j} + (-5-4)\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k} \\ \overrightarrow{BC} &= C - B = (3-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-2-(-5))\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \\ \overrightarrow{CA} &= A - C = (2-3)\hat{i} + (-3-3)\hat{j} + (4-(-2))\hat{k} = -\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k} \end{aligned} $$

তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থিত কি-না তা যাচাই করার জন্য তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট (Scalar Triple Product) বা বক্স গুণফল নির্ণয় করতে হবে। যদি বক্স গুণফল শূন্য হয়, তবে ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত।

বক্স গুণফল: $$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{CA}) &= \begin{vmatrix} -1 & 5 & -9 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & -6 & 6 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

নির্ণায়কটির মান নির্ণয় করি:

$$ \begin{aligned} &= -1 \{ (1)(6) - (3)(-6) \} - 5 \{ (2)(6) - (3)(-1) \} + (-9) \{ (2)(-6) - (1)(-1) \} \\ &= -1 \{ 6 + 18 \} - 5 \{ 12 + 3 \} - 9 \{ -12 + 1 \} \\ &= -1(24) - 5(15) - 9(-11) \\ &= -24 - 75 + 99 \\ &= -99 + 99 \\ &= 0 \end{aligned} $$

যেহেতু ভেক্টরত্রয়ের বক্স গুণফল শূন্য, তাই $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ ও $\overrightarrow{CA}$ ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত।