(ক) কোনো দৈব চলকের মানসমূহ এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে গাণিতিক প্রত্যাশা বলে। দৈব চলকের মানসমূহ থেকে তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানকে ঐ দৈব চলকের ভেদাঙ্ক (Variance) বলে। (খ) হ্যাঁ, দৈব চলক ঋণাত্মক হতে পারে। দৈব চলক হলো একটি বাস্তব মানবিশিষ্ট ফাংশন যা কোনো দৈব পরীক্ষার ফলাফলের সাথে সম্পর্কিত। যেহেতু দৈব পরীক্ষার ফলাফল বা পরিমাপক মান ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হতে পারে, তাই দৈব চলকের মানও ঋণাত্মক হওয়া সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, ব্যবসায় লাভ বা ক্ষতির ক্ষেত্রে লাভকে ধনাত্মক এবং ক্ষতিকে ঋণাত্মক মান দ্বারা প্রকাশ করা হয়। (গ) উদ্দীপক অনুযায়ী, বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $y$-এর সম্ভাবনা ফাংশন $P(y) = \frac{y+1}{k}$, যেখানে $y = 1, 2, 3, 4$। আমরা জানি, সম্ভাবনা বিন্যাসের ক্ষেত্রে সকল সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হয়, অর্থাৎ $\sum P(y) = 1$। $$ \begin{aligned} \sum_{y=1}^{4} P(y) &= 1 \\ \Rightarrow P(1) + P(2) + P(3) + P(4) &= 1 \\ \Rightarrow \frac{1+1}{k} + \frac{2+1}{k} + \frac{3+1}{k} + \frac{4+1}{k} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{4}{k} + \frac{5}{k} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{14}{k} &= 1 \\ \Rightarrow k &= 14 \end{aligned} $$ সুতরাং, $k$-এর মান ১৪। (ঘ) যদি $k = 20$ হয়, তবে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে $P(y) = \frac{y+1}{20}$। এখন, $$ \begin{aligned} P(y \geq 2) &= P(2) + P(3) + P(4) \\ &= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = 0.6 \end{aligned} $$ এবং, $$ \begin{aligned} P(y \leq 3) &= P(1) + P(2) + P(3) \\ &= \frac{2}{20} + \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20} = 0.45 \end{aligned} $$ যেহেতু $0.6 \neq 0.45$, তাই $P(y \geq 2) \neq P(y \leq 3)$ সম্পর্কটি উদ্দীপকের আলোকে সঠিক।