(ক) কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দুর সাথে একটি বাস্তব সংখ্যা যুক্ত করে যে চলক তৈরি করা হয়, তাকে দৈব চলক বলে। (খ) মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা (Head) নির্দেশকারী চলকটি একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক। কারণ, একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মাথা পাওয়ার সংখ্যা হতে পারে ০ অথবা ১, যা গণনাযোগ্য এবং নির্দিষ্ট। এই মানগুলোর প্রতিটি একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা বহন করে, তাই এটি একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক। (গ) আমরা জানি, সম্ভাবনা অপেক্ষকের ক্ষেত্রে মোট সম্ভাবনা ১ হয়। অর্থাৎ, $$\sum P(x) = 1$$ $$\Rightarrow \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + 3k + 2k + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = 1$$ $$\Rightarrow 5k + \frac{1+2+2+1}{10} = 1$$ $$\Rightarrow 5k + \frac{6}{10} = 1$$ $$\Rightarrow 5k = 1 - 0.6 = 0.4$$ $$\Rightarrow k = \frac{0.4}{5} = 0.08 = \frac{2}{25}$$ এখন, $$P(1 \le x \le 4) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)$$ $$= \frac{1}{5} + 3k + 2k + \frac{1}{5}$$ $$= \frac{2}{5} + 5k$$ $$= \frac{2}{5} + 5 \times \frac{2}{25}$$ $$= \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$$ (ঘ) আমরা জানি, ক্রমযোজিত সম্ভাবনা অপেক্ষক $F(x) = P(X \le x)$। উদ্দীপক অনুযায়ী: $$F(4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)$$ $$= \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + 3\left(\frac{2}{25}\right) + 2\left(\frac{2}{25}\right) + \frac{1}{5}$$ $$= 0.1 + 0.2 + 0.24 + 0.16 + 0.2 = 0.9$$ আবার, $$F(1) = P(x=0) + P(x=1)$$ $$= \frac{1}{10} + \frac{1}{5} = 0.1 + 0.2 = 0.3$$ সুতরাং, $$F(4) - F(1) = 0.9 - 0.3 = 0.6$$ যেহেতু $P(1 \le x \le 4) = 0.8$ এবং $F(4) - F(1) = 0.6$, তাই $P(1 \le x \le 4) \neq F(4) - F(1)$। অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণটি সত্য নয়।