(ক)

ধরি, প্রদত্ত নির্ণায়কটি $D$।

$$ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a & -x & a+x \\ b & -y & b+y \\ c & -z & c+z \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a & -x & a \\ b & -y & b \\ c & -z & c \end{vmatrix} \end{aligned} $$

এখানে তৃতীয় কলামের ক্ষেত্রে $C_3' = C_3 + C_2$ অপারেশন প্রয়োগ করা হয়েছে।

যেহেতু নির্ণায়কটির প্রথম ও তৃতীয় কলামের উপাদানসমূহ একই, তাই নির্ণায়কের মান শূন্য।

$$D = 0$$

অতএব,

$$\begin{vmatrix} a & -x & a+x \\ b & -y & b+y \\ c & -z & c+z \end{vmatrix} = 0$$

(প্রমাণিত)

(খ)

উদ্দীপক হতে পাই,

$$S = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$

এবং

$$T = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

প্রথমে $S$ এর নির্ণায়ক ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করি:

$$ \begin{aligned} |S| &= \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} \\ &= (-1)(-3) - (1)(2) \\ &= 3 - 2 \\ &= 1 \end{aligned} $$

যেহেতু $|S| \neq 0$, তাই $S^{-1}$ বিদ্যমান।

$S$ এর সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (adjoint matrix):

$$\text{adj}(S) = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$

অতএব,

$$ \begin{aligned} S^{-1} &= \frac{1}{|S|} \text{adj}(S) \\ &= \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

এবার $T$ এর নির্ণায়ক ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করি:

$$ \begin{aligned} |T| &= \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= (3)(2) - (-5)(-1) \\ &= 6 - 5 \\ &= 1 \end{aligned} $$

যেহেতু $|T| \neq 0$, তাই $T^{-1}$ বিদ্যমান।

$T$ এর সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (adjoint matrix):

$$\text{adj}(T) = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

অতএব,

$$ \begin{aligned} T^{-1} &= \frac{1}{|T|} \text{adj}(T) \\ &= \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

এখন, $ST$ গুণফল নির্ণয় করি:

$$ \begin{aligned} ST &= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(3) + (1)(-1) & (-1)(-5) + (1)(2) \\ (2)(3) + (-3)(-1) & (2)(-5) + (-3)(2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 - 1 & 5 + 2 \\ 6 + 3 & -10 - 6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ 9 & -16 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

$ST$ এর নির্ণায়ক:

$$ \begin{aligned} |ST| &= \begin{vmatrix} -4 & 7 \\ 9 & -16 \end{vmatrix} \\ &= (-4)(-16) - (7)(9) \\ &= 64 - 63 \\ &= 1 \end{aligned} $$

যেহেতু $|ST| \neq 0$, তাই $(ST)^{-1}$ বিদ্যমান।

$ST$ এর সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (adjoint matrix):

$$\text{adj}(ST) = \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix}$$

অতএব,

$$ \begin{aligned} (ST)^{-1} &= \frac{1}{|ST|} \text{adj}(ST) \\ &= \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

এবার $T^{-1} S^{-1}$ এর গুণফল নির্ণয় করি:

$$ \begin{aligned} T^{-1} S^{-1} &= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (2)(-3) + (5)(-2) & (2)(-1) + (5)(-1) \\ (1)(-3) + (3)(-2) & (1)(-1) + (3)(-1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -6 - 10 & -2 - 5 \\ -3 - 6 & -1 - 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

সুতরাং,

$$ \begin{aligned} (ST)^{-1} - T^{-1} S^{-1} &= \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

যা একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।

অতএব, $(ST)^{-1} - T^{-1} S^{-1}$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

(গ)

উদ্দীপক হতে পাই,

$$U = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 2a^3+1 & 2b^3+1 & 2c^3+1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$$

অতএব, $U$ এর নির্ণায়ক:

$$|U| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a^3+1 & 2b^3+1 & 2c^3+1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$$

নির্ণায়কের সারি ও কলাম পরস্পর বিনিময় করলে নির্ণায়কের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। সারিগুলোকে কলামে রূপান্তর করে পাই:

$$|U| = \begin{vmatrix} a & 2a^3+1 & a^2 \\ b & 2b^3+1 & b^2 \\ c & 2c^3+1 & c^2 \end{vmatrix}$$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী, দ্বিতীয় কলামের যোগফলকে দুটি আলাদা নির্ণায়কে বিভক্ত করে পাই:

$$|U| = \begin{vmatrix} a & 2a^3 & a^2 \\ b & 2b^3 & b^2 \\ c & 2c^3 & c^2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 1 & a^2 \\ b & 1 & b^2 \\ c & 1 & c^2 \end{vmatrix}$$

প্রথম নির্ণায়কের দ্বিতীয় কলাম থেকে $2$ এবং প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারি থেকে যথাক্রমে $a, b, c$ সাধারণ নিয়ে পাই:

$$\begin{vmatrix} a & 2a^3 & a^2 \\ b & 2b^3 & b^2 \\ c & 2c^3 & c^2 \end{vmatrix} = 2abc \begin{vmatrix} 1 & a^2 & a \\ 1 & b^2 & b \\ 1 & c^2 & c \end{vmatrix}$$

কলাম বিনিময় করে পাই (প্রথম ও দ্বিতীয় কলাম বিনিময় করলে চিহ্নের পরিবর্তন হয়, আবার দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম বিনিময় করলে চিহ্নের পরিবর্তন হয়):

$$ \begin{aligned} 2abc \begin{vmatrix} 1 & a^2 & a \\ 1 & b^2 & b \\ 1 & c^2 & c \end{vmatrix} &= -2abc \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

দ্বিতীয় নির্ণায়কের ক্ষেত্রে, প্রথম ও দ্বিতীয় কলাম বিনিময় করলে পাই:

$$\begin{vmatrix} a & 1 & a^2 \\ b & 1 & b^2 \\ c & 1 & c^2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$$

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:

$$ \begin{aligned} |U| &= -2abc \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} \\ &= -(2abc + 1) \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

এখন নির্ণায়কটিতে $R_1' = R_1 - R_2$ এবং $R_2' = R_2 - R_3$ সারি অপারেশন প্রয়োগ করে পাই:

$$|U| = -(2abc + 1) \begin{vmatrix} 0 & a-b & a^2-b^2 \\ 0 & b-c & b^2-c^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$$

প্রথম কলামের সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:

$$ \begin{aligned} |U| &= -(2abc + 1) \begin{vmatrix} a-b & (a-b)(a+b) \\ b-c & (b-c)(b+c) \end{vmatrix} \end{aligned} $$

প্রথম সারি থেকে $(a-b)$ এবং দ্বিতীয় সারি থেকে $(b-c)$ সাধারণ নিয়ে পাই:

$$ \begin{aligned} |U| &= -(2abc + 1)(a-b)(b-c) \begin{vmatrix} 1 & a+b \\ 1 & b+c \end{vmatrix} \\ &= -(2abc + 1)(a-b)(b-c) \{1 \cdot (b+c) - 1 \cdot (a+b)\} \\ &= -(2abc + 1)(a-b)(b-c) (b+c-a-b) \\ &= -(2abc + 1)(a-b)(b-c)(c-a) \end{aligned} $$

অতএব,

$$|U| = -(2abc + 1)(a-b)(b-c)(c-a)$$

(প্রমাণিত)