(ক) দেওয়া আছে, $2 \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = x^2$। $$ \begin{aligned} 2(3 - 2x) &= x^2 \\ \Rightarrow 6 - 4x &= x^2 \\ \Rightarrow x^2 + 4x - 6 &= 0 \end{aligned} $$ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র প্রয়োগ করে পাই, $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} = -2 \pm \sqrt{10} $$ (খ) $B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$। ২য় সারির উপাদানগুলোর সহগুণক $A_2, B_2, C_2$। আমরা জানি, কোনো নির্ণায়কের একটি সারির উপাদানগুলোকে অন্য কোনো সারির সহগুণক দ্বারা গুণ করে যোগ করলে যোগফল শূন্য হয়। এখানে, $a_3 A_2 + b_3 B_2 + c_3 C_2$ হলো ৩য় সারির উপাদান এবং ২য় সারির সহগুণকের গুণফলের সমষ্টি। অতএব, $a_3 A_2 + b_3 B_2 + c_3 C_2 = 0$। (গ) দেওয়া আছে, $S = x+y+z$ এবং $P = \begin{vmatrix} 2x-S & 2x & 2x \\ 2y & 2y-S & 2y \\ 2z & 2z & 2z-S \end{vmatrix}$। $C_1' = C_1+C_2+C_3$ করে পাই, $$ \begin{aligned} P &= \begin{vmatrix} 2x-S+2x+2x & 2x & 2x \\ 2y+2y-S+2y & 2y-S & 2y \\ 2z+2z+2z-S & 2z & 2z-S \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 6x-S & 2x & 2x \\ 6y-S & 2y-S & 2y \\ 6z-S & 2z & 2z-S \end{vmatrix} \end{aligned} $$ যেহেতু $S = x+y+z$, তাই $6x-S = 6x-(x+y+z) = 5x-y-z$। এটি জটিল হওয়ায় বিকল্প পদ্ধতি $R_1' = R_1+R_2+R_3$ ব্যবহার করি: $$ \begin{aligned} P &= \begin{vmatrix} 2x+2y+2z-S & 2x+2y-S+2z & 2x+2y+2z-S \\ 2y & 2y-S & 2y \\ 2z & 2z & 2z-S \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} S & S & S \\ 2y & 2y-S & 2y \\ 2z & 2z & 2z-S \end{vmatrix} \quad [\because 2x+2y+2z-S = 2S-S = S] \\ &= S \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2y & 2y-S & 2y \\ 2z & 2z & 2z-S \end{vmatrix} \end{aligned} $$ $C_1' = C_1-C_3$ এবং $C_2' = C_2-C_3$ করে পাই, $$ \begin{aligned} P &= S \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -S & 2y \\ S & S & 2z-S \end{vmatrix} \\ &= S \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -S \\ S & S \end{vmatrix} \\ &= S(0 - (-S^2)) = S^3 \end{aligned} $$ প্রমাণিত।