(ক) ধরি, ভেক্টর তিনটি হলো $\mathbf{M} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\mathbf{N} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\mathbf{P} = \lambda\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$। ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট শূন্য হবে। অর্থাৎ: $$\begin{aligned} | \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ \lambda & -1 & \lambda \end{matrix} | &= 0 \\ \Rightarrow 1(2\lambda - 1) - (-1)(2\lambda + \lambda) + 1(-2 - 2\lambda) &= 0 \\ \Rightarrow 2\lambda - 1 + 3\lambda - 2 - 2\lambda &= 0 \\ \Rightarrow 3\lambda - 3 &= 0 \\ \Rightarrow \lambda &= 1 \end{aligned}$$ নির্ণেয় মান $\lambda = 1$। (খ) $\triangle ABC$-এর $BC, CA, AB$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D, E, F$। ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে: $$\begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \\ \Rightarrow 2\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \quad \dots(i) \\ \overrightarrow{BE} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) \\ \Rightarrow 2\overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \quad \dots(ii) \\ \overrightarrow{CF} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \\ \Rightarrow 2\overrightarrow{CF} &= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} \quad \dots(iii) \end{aligned}$$ সমীকরণ $(i), (ii)$ ও $(iii)$ যোগ করে পাই: $$\begin{aligned} 2(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB}) \\ &= \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} \\ &= \vec{0} \\ \therefore \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} &= \vec{0} \end{aligned}$$ প্রমাণিত। (গ) ধরি, $A, B, C$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$। $AD$ মধ্যমার ওপর $G$ বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যেন $AG:GD = 2:1$ হয়। $G$-এর অবস্থান ভেক্টর: $$\vec{g} = \frac{2(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}) + 1(\vec{a})}{2+1} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$ অনুরূপভাবে, $BE$ মধ্যমার ওপর $H$ বিন্দু $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত করলে: $$\vec{h} = \frac{2(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}) + 1(\vec{b})}{2+1} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$ আবার, $CF$ মধ্যমার ওপর $I$ বিন্দু $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত করলে: $$\vec{i} = \frac{2(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}) + 1(\vec{c})}{2+1} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$ যেহেতু $G, H$ ও $I$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর একই, তাই মধ্যমাত্রয় একই বিন্দুতে ছেদ করে। অর্থাৎ, $AD, BE$ ও $CF$ সমবিন্দু। দেখানো হলো।