(ক) দেওয়া আছে, |a|=3, |b|=5 এবং |c|=7। যেহেতু a + b + c = 0, তাই a + b = -c। উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: $$ |a + b|^2 = |-c|^2 $$ $$ |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2 $$ এখানে θ হলো a ও b এর মধ্যবর্তী কোণ। মান বসিয়ে পাই: $$ \begin{aligned} 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta &= 7^2 \\ 9 + 25 + 30 \cos \theta &= 49 \\ 34 + 30 \cos \theta &= 49 \\ 30 \cos \theta &= 15 \\ \cos \theta &= 1/2 \\ \theta &= \cos^{-1}(1/2) = \pi/3 \end{aligned} $$ উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হবে π - θ। সুতরাং, a ও b এর মধ্যবর্তী কোণ π - π/3 = 2π/3। (দেখানো হলো) (খ) আমরা জানি, ভেক্টর গুণফলের মান |a × b| = |a||b| sin θ এবং স্কেলার গুণফল a · b = |a||b| cos θ। বামপক্ষ: $$ \begin{aligned} |a × b|^2 + |a · b|^2 &= (|a||b| \sin \theta)^2 + (|a||b| \cos \theta)^2 \\ &= |a|^2|b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2|b|^2 \cos^2 \theta \\ &= |a|^2|b|^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \\ &= |a|^2|b|^2(1) \\ &= |a|^2|b|^2 = \text{ডানপক্ষ} \end{aligned} $$ (প্রমাণিত) (গ) উদ্দীপক অনুযায়ী, a + b + c = 0। ত্রিভুজের বাহুগুলোকে ভেক্টর হিসেবে বিবেচনা করলে, b + c = -a। উভয় পক্ষকে ডট গুণন করে পাই: $$ \begin{aligned} (b + c) \cdot (b + c) &= (-a) \cdot (-a) \\ b^2 + 2(b \cdot c) + c^2 &= a^2 \\ b^2 + 2bc \cos(\pi - A) + c^2 &= a^2 \end{aligned} $$ যেহেতু cos(π - A) = -cos A, তাই: $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ (দেখানো হলো)