ঘ. A মৌলের 20% এবং C মৌলের 10% ক্ষয় হতে একই সময় লাগবে কি না, তা গাণিতিকভাবে নিচে বিশ্লেষণ করা হলো: ধরি, A মৌলের অবক্ষয় ধ্রুবক $\lambda_A$। 1.5 বছর পর এর ভর 50 g থেকে 20 g হয়। এখানে, $$ \begin{aligned} N_0&=50\text{ g} \\ N&=20\text{ g} \\ t&=1.5 \end{aligned} $$ আমরা জানি, $N = N_0 e^{-\lambda_A t}$। $$ \begin{aligned} \frac{N}{N_0}&=e^{-\lambda_A t} \\ \frac{20}{50}&=e^{-\lambda_A \times 1.5} \\ 0.4&=e^{-1.5 \lambda_A} \\ \ln(0.4)&=-1.5 \lambda_A \\ \lambda_A&=\frac{-\ln(0.4)}{1.5} \approx 0.61086^{-1} \end{aligned} $$ A মৌলের 20% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে (100-20)% = 80% বা 0.8 অংশ। $$ \begin{aligned} 0.8&=e^{-0.61086 \times t_A} \\ \ln(0.8)&=-0.61086 \times t_A \\ t_A&=\frac{-\ln(0.8)}{0.61086} \approx 0.3653 \end{aligned} $$ আবার, C মৌলের জন্য অবক্ষয় ধ্রুবক $\lambda_C$। 1.5 বছর পর এর ভর 50 g থেকে 40 g হয়। $$ \begin{aligned} N&=40\text{ g} \\ \frac{40}{50}&=e^{-\lambda_C \times 1.5} \\ 0.8&=e^{-1.5 \lambda_C} \\ \ln(0.8)&=-1.5 \lambda_C \\ \lambda_C&=\frac{-\ln(0.8)}{1.5} \approx 0.14876^{-1} \end{aligned} $$ C মৌলের 10% ক্ষয় হলে অবশিষ্ট থাকে (100-10)% = 90% বা 0.9 অংশ। $$ \begin{aligned} 0.9&=e^{-0.14876 \times t_C} \\ \ln(0.9)&=-0.14876 \times t_C \\ t_C&=\frac{-\ln(0.9)}{0.14876} \approx 0.70825 \end{aligned} $$ যেহেতু $t_A \neq t_C$, তাই A মৌলের 20% এবং C মৌলের 10% ক্ষয় হতে একই সময় লাগবে না।