(ক) দেওয়া আছে, $y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \cdots$ এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = x$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = -x$। যেহেতু $|-x| < 1$, তাই অসীম সমষ্টির সূত্রানুসারে: $$y = \frac{x}{1 - (-x)} = \frac{x}{1+x}$$ $$\Rightarrow y(1+x) = x$$ $$\Rightarrow y + xy = x$$ $$\Rightarrow y = x - xy$$ $$\Rightarrow y = x(1-y)$$ $$\Rightarrow x = \frac{y}{1-y}$$ এখন, দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে পাই: $$x = y(1-y)^{-1}$$ $$x = y(1 + y + y^2 + y^3 + \cdots)$$ $$x = y + y^2 + y^3 + y^4 + \cdots$$ (খ) প্রদত্ত সমীকরণ $ax^2 + bx - (R+2) = 0$। এখানে $a = 27, b = 6$ বসিয়ে পাই: $$27x^2 + 6x - (R+2) = 0$$ ধরি, মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\alpha^2$। মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + \alpha^2 = -\frac{6}{27} = -\frac{2}{9}$ $$\Rightarrow 9\alpha^2 + 9\alpha + 2 = 0$$ $$\Rightarrow 9\alpha^2 + 6\alpha + 3\alpha + 2 = 0$$ $$\Rightarrow 3\alpha(3\alpha + 2) + 1(3\alpha + 2) = 0$$ $$\Rightarrow (3\alpha + 2)(3\alpha + 1) = 0$$ সুতরাং, $\alpha = -\frac{2}{3}$ অথবা $\alpha = -\frac{1}{3}$। মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = -\frac{R+2}{27}$ কেস ১: $\alpha = -\frac{2}{3}$ হলে, $$(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{R+2}{27}$$ $$\Rightarrow -\frac{8}{27} = -\frac{R+2}{27}$$ $$\Rightarrow R+2 = 8 \Rightarrow R = 6$$ কেস ২: $\alpha = -\frac{1}{3}$ হলে, $$(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{R+2}{27}$$ $$\Rightarrow -\frac{1}{27} = -\frac{R+2}{27}$$ $$\Rightarrow R+2 = 1 \Rightarrow R = -1$$ নির্ণেয় মান $R = 6, -1$। (গ) প্রদত্ত রাশি $(2x - \frac{1}{4x^2})^{12}$। সাধারণ পদ $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x)^{12-r} (-\frac{1}{4x^2})^r$ $$T_{r+1} = {}^{12}C_r \cdot 2^{12-r} \cdot x^{12-r} \cdot (-1)^r \cdot \frac{1}{4^r} \cdot x^{-2r}$$ $$T_{r+1} = {}^{12}C_r \cdot 2^{12-r} \cdot (-1)^r \cdot 2^{-2r} \cdot x^{12-3r}$$ $$T_{r+1} = {}^{12}C_r \cdot (-1)^r \cdot 2^{12-3r} \cdot x^{12-3r}$$ $x$ বর্জিত পদের জন্য $12-3r = 0 \Rightarrow r = 4$। অতএব, $x$ বর্জিত পদটি হলো: $$T_5 = {}^{12}C_4 \cdot (-1)^4 \cdot 2^{12-3(4)}$$ $$T_5 = 495 \cdot 1 \cdot 2^0 = 495$$ নির্ণেয় মান $495$।